Інтеграли Френеля: відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
м r2.6.4) (робот змінив: tr:Fresnel integrali; косметичні зміни |
м r2.7.2+) (робот додав: km:អាំងតេក្រាលហ្វ្រេនែល |
||
Рядок 87: | Рядок 87: | ||
[[it:Integrale di Fresnel]] |
[[it:Integrale di Fresnel]] |
||
[[ja:フレネル積分]] |
[[ja:フレネル積分]] |
||
[[km:អាំងតេក្រាលហ្វ្រេនែល]] |
|||
[[nl:Fresnelintegraal]] |
[[nl:Fresnelintegraal]] |
||
[[pl:Całka Fresnela]] |
[[pl:Całka Fresnela]] |
Версія за 12:30, 5 лютого 2012
Інтеграли Френеля S(x) і C(x) — це спеціальні функції, названі на честь Огюстена Жана Френеля, використовуються в оптиці. Вони виникають при розрахунку дифракції Френеля. Визначаються як:
Параметричний графік S(x) і C(x) дає криву на площині, що називається спіраль Корню або клотоїда.
Розкладання у ряд
Інтеграли Френеля можуть бути представлені степеневими рядами, що сходяться для всіх x:
Деякі автори використовують в якості аргументу тригонометричних підінтегральных функцій . Отримані функції отримуються із означених вище, шляхом стискання графіка по осі Y у разів і розтягненням уздовж осі X у стільки ж разів.
Спіраль Корню
Спіраль Корню, також відома як клотоїда, — це крива, що є параметричним графіком S(t) від C(t). Спіраль Корню була придумана Марі Альфредом Корню для полегшення розрахунку дифракції у прикладних задачах.
Оскільки,
то у такій параметризації дотичний вектор має одиничну довжину, тому t являеться довгою кривою, що вимірюється від точки (0,0). Звідси, дві гілки спіралі мають нескінченну довжину.
Кривизна цієї кривої у будь-якій точці пропорційна довжині дуги, що розміщується між цією точкою та початком координат. Завдяки цій властивості вона застосовується в будівництві доріг, оскільки кутове прискорення машини, що рухається по цій кривій з постійною швидкістю, буде залишатися сталим.
Властивості
- C(x) и S(x) — непарні функції x.
- Використовуючи розкладання в ряд, можна побудувати аналітичне продовження інтегралів Френеля на всю комплексну площину. Комплексні інтеграли Френеля виражаються через функцію помилок як
- .
- Інтегралы Френеля не виражаються через елементарні функції, окрім часткових випадків. Границя цих функцій при дорівнює
Обчислення
Границі функцій C и S за можуть бути знайдені за допомогою інтегрування по контуру. Для цього обраховується контурний інтеграл функції
по границі сектору на комплексной плоскости, що утворений віссю абсцис, променем , і колом з радіусом R з центром на початку координат.
При інтеграл по дузі прямує до 0, інтеграл по дійсній осі прямує до значення інтегралу Пуасона
і, після деяких перетворень, інтеграл уздовж променя, що залишився, може бути виражений через граничне значення інтегралу Френеля.
Дивіться також
Примітки
- Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. — New York: Dover, 1972. (См. часть 7) (англ.)
Посилання
- Weisstein, Eric W. Fresnel Integrals(англ.) на сайті Wolfram MathWorld. (англ.)
- Weisstein, Eric W. Cornu Spiral(англ.) на сайті Wolfram MathWorld. (англ.)
- R. Nave, The Cornu spiral, Hyperphysics (2002) (Використовуює πt²/2 замість t².) (англ.)
- Roller Coaster Loop Shapes. Процитовано 13 серпня 2008.
{{cite web}}
: Недійсний|deadlink=404
(довідка) (англ.)