Стохастичне числення Іто: відмінності між версіями

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[неперевірена версія][неперевірена версія]
Вилучено вміст Додано вміст
EmausBot (обговорення | внесок)
м r2.7.2+) (робот змінив: zh:伊藤积分; косметичні зміни
IvanBot (обговорення | внесок)
м replaced: більш загальному → загальнішому
Рядок 1: Рядок 1:
'''Числення Іто''' — математична теорія, що описує методи маніпулювання з випадковими процесами, такими як [[броунівський рух]] (або [[вінерівський процес]]). Названа на честь творця, японського математика [[Іто Кійоси|Кійосі Іто]]. Часто застосовується в [[фінансова математика|фінансовій математиці]] і теорії [[стохастичне диференціальне рівняння|стохастичних диференціальних рівнянь]]. Центральним поняттям цієї теорії є інтеграл Іто
'''Числення Іто''' — математична теорія, що описує методи маніпулювання з випадковими процесами, такими як [[броунівський рух]] (або [[вінерівський процес]]). Названа на честь творця, японського математика [[Іто Кійоси|Кійосі Іто]]. Часто застосовується в [[фінансова математика|фінансовій математиці]] і теорії [[стохастичне диференціальне рівняння|стохастичних диференціальних рівнянь]]. Центральним поняттям цієї теорії є інтеграл Іто
: <math>Y_t=\int\limits_0^t H_s\,dX_s,</math>
: <math>Y_t=\int\limits_0^t H_s\,dX_s,</math>
де <math>X</math>&nbsp;— броунівський рух або, в більш загальному формулюванні, [[напівмартингал]].
де <math>X</math>&nbsp;— броунівський рух або, в загальнішому формулюванні, [[напівмартингал]].
Можна показати, що шлях інтегрування для броунівського руху не можна описати стандартними техніками інтегрального числення. Зокрема, броунівський рух не є інтегрованою функцією в кожній точці шляху і має нескінченну [[Варіація функції|варіацію]] на будь-якому часовому інтервалі. Таким чином, інтеграл Іто не може бути визначений у сенсі [[Інтеграл Рімана — Стілтьєса|інтеграла Рімана&nbsp;— Стілтьєса]]. Проте, інтеграл Іто можна визначити строго, якщо помітити, що підінтегральна функція <math>H</math> є адитивним процесом; це означає, що залежність від часу <math>t</math> його середнього значення визначається поведінкою тільки до моменту <math>t</math>.
Можна показати, що шлях інтегрування для броунівського руху не можна описати стандартними техніками інтегрального числення. Зокрема, броунівський рух не є інтегрованою функцією в кожній точці шляху і має нескінченну [[Варіація функції|варіацію]] на будь-якому часовому інтервалі. Таким чином, інтеграл Іто не може бути визначений у сенсі [[Інтеграл Рімана — Стілтьєса|інтеграла Рімана&nbsp;— Стілтьєса]]. Проте, інтеграл Іто можна визначити строго, якщо помітити, що підінтегральна функція <math>H</math> є адитивним процесом; це означає, що залежність від часу <math>t</math> його середнього значення визначається поведінкою тільки до моменту <math>t</math>.
<!--
<!--

Версія за 17:45, 9 липня 2012

Числення Іто — математична теорія, що описує методи маніпулювання з випадковими процесами, такими як броунівський рух (або вінерівський процес). Названа на честь творця, японського математика Кійосі Іто. Часто застосовується в фінансовій математиці і теорії стохастичних диференціальних рівнянь. Центральним поняттям цієї теорії є інтеграл Іто

де  — броунівський рух або, в загальнішому формулюванні, напівмартингал. Можна показати, що шлях інтегрування для броунівського руху не можна описати стандартними техніками інтегрального числення. Зокрема, броунівський рух не є інтегрованою функцією в кожній точці шляху і має нескінченну варіацію на будь-якому часовому інтервалі. Таким чином, інтеграл Іто не може бути визначений у сенсі інтеграла Рімана — Стілтьєса. Проте, інтеграл Іто можна визначити строго, якщо помітити, що підінтегральна функція є адитивним процесом; це означає, що залежність від часу його середнього значення визначається поведінкою тільки до моменту .

Позначення

Інтегрування броунівського руху

Процес Іто

Семімартингали, як інтегратори


Властивості


Інтегрування частинами

Лема Іто

Мартингали-інтегратори

Локальні мартингали

Квадратично інтегровні мартингали

p-інтегральні мартингали

Стохастична похідна

  and  

Див. також

Посилання

Література

  • Allouba, Hassan (2006). A Differentiation Theory for Itô's Calculus. Stochastic Analysis and Applications. 24: 367–380. DOI 10.1080/07362990500522411. 
  • Hagen Kleinert, Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 4th edition, World Scientific (Singapore), 2004, (ISBN 981-238-107-4). Пятое издание доступно в виде pdf.
  • He Sheng-Wu, Wang Jia-Gang, Yan Jia-An, Semimartingale Theory and Stochastic Calculus, Science Press, CRC Press Inc., 1992 (ISBN 7-03-003066-4, 0-8493-7715-3)
  • Ioannis Karatzas and Steven E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer, 1991 г. (ISBN 0-387-97655-8)
  • Philip E. Protter, Stochastic Integration and Differential Equations, Springer, 2001 (ISBN 3-540-00313-4)
  • Bernt K. Øksendal, Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, Springer, 2003 (ISBN 3-540-04758-1)
  • Mathematical Finance Programming in TI-Basic, which implements Ito calculus for TI-calculators.