Стохастичне числення Іто: відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
м r2.7.2+) (робот змінив: zh:伊藤积分; косметичні зміни |
IvanBot (обговорення | внесок) м replaced: більш загальному → загальнішому |
||
Рядок 1: | Рядок 1: | ||
'''Числення Іто''' — математична теорія, що описує методи маніпулювання з випадковими процесами, такими як [[броунівський рух]] (або [[вінерівський процес]]). Названа на честь творця, японського математика [[Іто Кійоси|Кійосі Іто]]. Часто застосовується в [[фінансова математика|фінансовій математиці]] і теорії [[стохастичне диференціальне рівняння|стохастичних диференціальних рівнянь]]. Центральним поняттям цієї теорії є інтеграл Іто |
'''Числення Іто''' — математична теорія, що описує методи маніпулювання з випадковими процесами, такими як [[броунівський рух]] (або [[вінерівський процес]]). Названа на честь творця, японського математика [[Іто Кійоси|Кійосі Іто]]. Часто застосовується в [[фінансова математика|фінансовій математиці]] і теорії [[стохастичне диференціальне рівняння|стохастичних диференціальних рівнянь]]. Центральним поняттям цієї теорії є інтеграл Іто |
||
: <math>Y_t=\int\limits_0^t H_s\,dX_s,</math> |
: <math>Y_t=\int\limits_0^t H_s\,dX_s,</math> |
||
де <math>X</math> — броунівський рух або, в |
де <math>X</math> — броунівський рух або, в загальнішому формулюванні, [[напівмартингал]]. |
||
Можна показати, що шлях інтегрування для броунівського руху не можна описати стандартними техніками інтегрального числення. Зокрема, броунівський рух не є інтегрованою функцією в кожній точці шляху і має нескінченну [[Варіація функції|варіацію]] на будь-якому часовому інтервалі. Таким чином, інтеграл Іто не може бути визначений у сенсі [[Інтеграл Рімана — Стілтьєса|інтеграла Рімана — Стілтьєса]]. Проте, інтеграл Іто можна визначити строго, якщо помітити, що підінтегральна функція <math>H</math> є адитивним процесом; це означає, що залежність від часу <math>t</math> його середнього значення визначається поведінкою тільки до моменту <math>t</math>. |
Можна показати, що шлях інтегрування для броунівського руху не можна описати стандартними техніками інтегрального числення. Зокрема, броунівський рух не є інтегрованою функцією в кожній точці шляху і має нескінченну [[Варіація функції|варіацію]] на будь-якому часовому інтервалі. Таким чином, інтеграл Іто не може бути визначений у сенсі [[Інтеграл Рімана — Стілтьєса|інтеграла Рімана — Стілтьєса]]. Проте, інтеграл Іто можна визначити строго, якщо помітити, що підінтегральна функція <math>H</math> є адитивним процесом; це означає, що залежність від часу <math>t</math> його середнього значення визначається поведінкою тільки до моменту <math>t</math>. |
||
<!-- |
<!-- |
Версія за 17:45, 9 липня 2012
Числення Іто — математична теорія, що описує методи маніпулювання з випадковими процесами, такими як броунівський рух (або вінерівський процес). Названа на честь творця, японського математика Кійосі Іто. Часто застосовується в фінансовій математиці і теорії стохастичних диференціальних рівнянь. Центральним поняттям цієї теорії є інтеграл Іто
де — броунівський рух або, в загальнішому формулюванні, напівмартингал. Можна показати, що шлях інтегрування для броунівського руху не можна описати стандартними техніками інтегрального числення. Зокрема, броунівський рух не є інтегрованою функцією в кожній точці шляху і має нескінченну варіацію на будь-якому часовому інтервалі. Таким чином, інтеграл Іто не може бути визначений у сенсі інтеграла Рімана — Стілтьєса. Проте, інтеграл Іто можна визначити строго, якщо помітити, що підінтегральна функція є адитивним процесом; це означає, що залежність від часу його середнього значення визначається поведінкою тільки до моменту .
Позначення
Інтегрування броунівського руху
Процес Іто
Семімартингали, як інтегратори
Властивості
Інтегрування частинами
Лема Іто
Мартингали-інтегратори
Локальні мартингали
Квадратично інтегровні мартингали
p-інтегральні мартингали
Стохастична похідна
- and
Див. також
Посилання
- Стохастический мир — простое введение в стохастические дифференциальные уравнения
Література
- Allouba, Hassan (2006). A Differentiation Theory for Itô's Calculus. Stochastic Analysis and Applications. 24: 367–380. DOI 10.1080/07362990500522411.
- Hagen Kleinert, Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 4th edition, World Scientific (Singapore), 2004, (ISBN 981-238-107-4). Пятое издание доступно в виде pdf.
- He Sheng-Wu, Wang Jia-Gang, Yan Jia-An, Semimartingale Theory and Stochastic Calculus, Science Press, CRC Press Inc., 1992 (ISBN 7-03-003066-4, 0-8493-7715-3)
- Ioannis Karatzas and Steven E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer, 1991 г. (ISBN 0-387-97655-8)
- Philip E. Protter, Stochastic Integration and Differential Equations, Springer, 2001 (ISBN 3-540-00313-4)
- Bernt K. Øksendal, Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, Springer, 2003 (ISBN 3-540-04758-1)
- Mathematical Finance Programming in TI-Basic, which implements Ito calculus for TI-calculators.
Ця стаття містить неперекладені фрагменти іноземною мовою. |