Список границь

Це список границь для поширених функцій.

Поліноми та функції вигляду x^a

Поліноми

• $\lim _{x\to c}x=c$ для всіх $c\in \mathbb {R$ ;}
• $\lim _{x\to c}(ax+b)=ac+b$ для всіх $a,b,c\in \mathbb {R$ ;}
• $\lim _{x\to c}x^{n}=c^{n}$ для всіх $n\in \mathbb {N}$, $c\in \mathbb {R$ ;}
• $\lim _{x\to +\infty }x/a={\begin{cases}\infty ,&a>0\\{\text{не існує}},&a=0\\-\infty ,&a<0\end{cases}}$ для всіх $a\in \mathbb {R} .$

Загалом, якщо $p(x)$ є поліномом, то

$\lim _{x\to c}p(x)=p(c)$.

Це також справедливо для раціональних функцій, оскільки вони неперервні у своїй області визначення.

Функції вигляду x^a

• $\lim _{x\to c}x^{a}=c^{a}$ для $c>0.$ Зокрема,
  • $\lim _{x\to +\infty }x^{a}={\begin{cases}\infty ,&a>0\\1,&a=0\\0,&a<0\end{cases}};$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{-n}=\lim {\frac {1}{x^{n}}}=+\infty$ ;}
• $\lim _{x\to 0^{-}}x^{-n}=\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x^{n}}}={\begin{cases}-\infty ,&n{\text{ - непарне}}\\+\infty ,&n{\text{ - парне}}\end{cases}};$
• $\lim _{x\to +\infty }ax^{-1}=\lim _{x\to +\infty }a/x=0$ для довільного $a\in \mathbb {R} .$

Степеневі функції

Функції вигляду a^g(x)

• $\lim _{x\to c}a^{x}=a^{c};$
• $\lim _{x\to +\infty }a^{x}={\begin{cases}\infty ,&a>1\\1,&a=1\\0,&0<a<1\end{cases}};$
• $\lim _{x\to +\infty }a^{-x}={\begin{cases}0,&a>1\\1,&a=1\\\infty ,&0<a<1\end{cases}};$
• $\lim _{x\to +\infty }{\sqrt[{x}]{a}}=\lim _{x\to +\infty }{a}^{1/x}={\begin{cases}1,&a>0\\0,&a=0\\{\text{не існує}},&a<0\end{cases}}.$

Функції вигляду x^g(x)

• $\lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=1.$

Функції вигляду f(x)^g(x)

• $\lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=\lim _{x\to 0}\left(1+x\right)^{\frac {1}{x}}=\lim _{x\to -\infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e$ — друга чудова границя;
• $\lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {k}{x}}\right)^{x}=e^{k};$
• $\lim _{x\to +\infty }\left({\frac {x}{x+k}}\right)^{x}=e^{-k}.$

Частки, добутки та композиції

• $\lim _{x\to +\infty }{\frac {a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\dots +a_{n}}{b_{0}x^{m}+b_{1}x^{m-1}+\dots +b_{m}}}={\begin{cases}+\infty ,&n>m\\{\frac {a_{0}}{b_{0}}},&n=m\\0,&n<m\end{cases}},$ де $n,m\in \mathbb {N}$ і $a_{i},b_{j}\in \mathbb {R}$ при $i={\overline {0,n}},j={\overline {0,m}},a_{0}\neq 0,b_{0}\neq 0;$
• $\lim _{x\to +\infty }x^{m}a^{x}=0,$ де $a\in (0,1)$ і $m\in \mathbb {N$ ;}
• $\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{m}}{a^{x}}}=0,$ де $a>1$ і $m\in \mathbb {N$ ;}
• $\lim _{x\to 0}{\frac {a^{x}-1}{x}}=\ln {a},$ де $a>0;$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {(1+x)^{a}-1}{x}}=a,$ де $a\in \mathbb {R} .$

Логарифмічні функції

Натуральний логарифм

• $\lim _{x\to c}\ln {x}=\ln c$ для всіх $c>0.$ Зокрема
  • $\lim _{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty ,$
  • $\lim _{x\to \infty }\ln x=+\infty .$
• $\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\ln {(x+1)}}{x}}=1;$
• $\lim _{x\to 0^{+}}\left({\frac {\ln {(x+1)}}{x}}\right)^{\frac {1}{x}}=e^{-{\frac {1}{2}}};$
• $\lim _{x\to 0^{+}}x^{a}\ln x=0,$ де $a>0;$
• $\lim _{x\to +\infty }{\frac {\ln x}{x^{a}}}=0,$ де $a>0.$

Логарифми з довільною основою

• $\lim _{x\to 0}{\frac {\log _{a}{(x+1)}}{x}}=\log _{a}{e},$ де $a>0,$ $a\neq 0.$

Для b > 1,

• $\lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x=-\infty$,
• $\lim _{x\to \infty }\log _{b}x=\infty$.

Для b < 1,

• $\lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x=\infty$,
• $\lim _{x\to \infty }\log _{b}x=-\infty$.

Для обох випадків можна узагальнити:

• $\lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x=-F(b)\infty$,
• $\lim _{x\to \infty }\log _{b}x=F(b)\infty$,

де $F(x)=2H(x-1)-1$ і $H(x)$ — функція Гевісайда.

Тригонометричні функції

• $\lim _{x\to a}\sin x=\sin a;$
• $\lim _{x\to a}\cos x=\cos a;$

• $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$ — перша чудова границя. Узагальнення:
  • $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{ax}}=1$ при $a\neq 0$,
  • $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{x}}=a$ для всіх $a\in \mathbb {R}$,
  • $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{bx}}={\frac {a}{b}}$ при $b\neq 0$.

• $\lim _{x\to \infty }x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)=1;$
• $\lim _{x\to 0}\left({\frac {\sin x}{x}}\right)^{\frac {1}{x}}=1;$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0;$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos ^{a}x}{\sin ^{2}x}}={\frac {a}{2}},$ де $a\in \mathbb {R$ ;}
• $\lim _{x\to n^{\pm }}\operatorname {tg} \left(\pi x+{\frac {\pi }{2}}\right)=\mp \infty$ для всіх $n\in \mathbb {Z}$.
• $\lim _{n\to \infty }\ \underbrace {\sin \sin \cdots \sin(x_{0})} _{n}=0,$ де $x_{0}\in \mathbb {R}$ — довільне.
• $\lim _{n\to \infty }\ \underbrace {\cos \cos \cdots \cos(x_{0})} _{n}=d,$ де $d$ — число Дотті, $x_{0}\in \mathbb {R}$ — довільне.

Джерела

• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 1992. — 496 с. — ISBN 5-11-003757-4.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)
• Шкіль М. І. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 2005. — 447 с.(укр.)
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2026. — 2538 с.(укр.)
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2026. — 2390 с.(укр.)
• Денисьєвський М. О., Курченко О. О., Нагорний В. Н., Нестеренко О. Н., Петрова Т. О., Чайковський А. В. Збірник задач з математичного аналізу. Частина I. Функції однієї змінної. — К. : ВПЦ “Київський університет”, 2005. — 257 с.