Список тригонометричних тотожностей

Тригонометричні тотожності — математичні вирази з тригонометричними функціями, що виконуються для всіх значень аргумента.

Основні тригонометричні формули

Основні формули
$~ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$	(1)
$\mathrm{tg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \operatorname{sec}^2 \alpha$	(2)
$\mathrm{ctg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\sin^2 \alpha} = \operatorname{cosec}^2 \alpha$	(3)

Формула (1) є наслідком теореми Піфагора (Тригонометрична тотожність Піфагора). Формули (2) і (3) добуваються діленням формули (1) на cos² θ та sin² θ відповідно.

Формули для суми аргументів

Формули для суми аргументів
$\sin \left( \alpha \pm \beta \right) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$	(5)
$\cos \left( \alpha \pm \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$	(6)
$\mathop{\mathrm{tg}} \left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{ \mathop{\mathrm{tg}} \alpha \pm \mathop{\mathrm{tg}} \beta}{1 \mp \mathop{\mathrm{tg}} \alpha \mathop{\mathrm{tg}}\beta}$	(7)
$\mathrm{ctg} \left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{ \mathop{\mathrm{ctg}} \alpha \mathop{\mathrm{ctg}} \beta \mp 1}{\mathop{\mathrm{ctg}} \alpha \pm \mathop{\mathrm{ctg}}\beta}$

Формула (7) отримується діленням (5) на (6).

Формули подвійного кута

Формули подвійного кута виводяться із формул (5), (6) і (7), якщо прийняти, що кут β рівний α:

Формули подвійного кута
$\mathop{\mathrm{sin}} 2 \alpha = 2 {\sin \alpha}{\cos \alpha}$	(23)
$\mathop{\mathrm{cos}} 2 \alpha = {\cos^2 \alpha} - {\sin^2 \alpha} = 2 {\cos^2 \alpha} - 1 = {1 - 2{\mathrm{sin}}^2 \alpha} = \frac{1 - \mathop{\mathrm{tg}}^2 \alpha}{1 + \mathop{\mathrm{tg}}^2 \alpha}$	(24)
$\mathop{\mathrm{tg}} 2 \alpha = \frac{2 \mathop{\mathrm{tg}} \alpha}{1 - \mathop{\mathrm{tg}}^2 \alpha}$	(25)
$\mathop{\mathrm{ctg}} 2 \alpha = \frac{\mathop{\mathrm{ctg}}^2 \alpha - 1}{2 \mathop{\mathrm{ctg}} \alpha} = \frac{\operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha}{2}$

Формули потрійного кута

Формули потрійного кута
$\sin 3\alpha = 3 \sin \alpha - 4 \sin^3\alpha =4\sin\alpha\sin\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)\,$
$\cos 3\alpha = 4 \cos^3\alpha - 3 \cos \alpha =4\cos \alpha\cos \left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)\cos \left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)\,$
$\operatorname{tg} 3\alpha = \frac{3 \operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}^3\alpha}{1 - 3 \operatorname{tg}^2\alpha}=\mathop{\mathrm{tg}} \alpha\mathrm{tg} \left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)\mathrm{tg} \left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)$
$\operatorname{ctg} 3\alpha = \frac{3 \operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{ctg}^3\alpha}{1 - 3 \operatorname{ctg}^2\alpha}=\mathrm{ctg} \alpha \mathrm{ctg}\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right) \mathrm{ctg}\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)$

Формули кратних кутів

Формули кратних кутів
$\sin(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\cos^{n-2k-1}\alpha\,\sin^{2k+1}\alpha$
$\cos(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\cos^{n-2k}\alpha\,\sin^{2k}\alpha$
$\mathrm{tg}(n\alpha)=\frac{\sin(n\alpha)}{\cos(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{tg}^{2k+1}\alpha}}{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{tg}^{2k}\alpha}}$
$\mathrm{ctg}(n\alpha)=\frac{\cos(n\alpha)}{\sin(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{ctg}^{n-2k}\alpha}}{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{ctg}^{n-2k-1}\alpha}}$

де $[n]$ — ціла частина числа $n$, $\binom{n}{k}$ — біноміальний коефіцієнт.

Вивід формул

Формули для кратних кутів виводяться за допомогою формули Муавра

$\left(\cos \alpha+i\sin \alpha\right)^n=\cos\left(n\alpha\right)+i\sin\left(n\alpha\right),\quad i^2=-1.$

Розкриємо праву частину рівності за формулою бінома Ньютона

$\left(\cos \alpha+i\sin \alpha\right)^n = \sum_{q=0}^{n}{n \choose q} (\cos \alpha)^{n-q}(i\sin \alpha)^{q}.$

Врахувавши, що $i^{2k}=(-1)^k,\, i^{2k+1}=(-1)^ki,\, k\in\mathbb{Z}_+,$ та виділивши окремо дійсну та уявну частини, рівність запишемо у вигляді

$\left(\cos \alpha+i\sin \alpha\right)^n = \sum_{k=0}^{[n/2]}{n \choose 2k}(-1)^k(\cos \alpha)^{n-2k}(\sin \alpha)^{2k} +i\left(\sum_{k=0}^{[n/2]}{n \choose 2k+1} (-1)^k(\cos \alpha)^{n-2k-1}(\sin \alpha)^{2k+1}\right).$

Підставимо отриману рівність у формулу Муавра

$\sum_{k=0}^{[n/2]}{n \choose 2k}(-1)^k(\cos \alpha)^{n-2k}(\sin \alpha)^{2k} +i\left(\sum_{k=0}^{[n/2]}{n \choose 2k+1} (-1)^k(\cos \alpha)^{n-2k-1}(\sin \alpha)^{2k+1}\right)=\cos\left(n\alpha\right)+i\sin\left(n\alpha\right).$

Оскільки два комплексні числа рівні тоді і лише тоді коли рівні їхні дійсні та уявні частини, то з останньої рівності отримуємо шукані формули

$\sin(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\cos^{n-2k-1}\alpha\,\sin^{2k+1}\alpha,$

$\cos(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\cos^{n-2k}\alpha\,\sin^{2k}\alpha.$

Мають місце також такі співвідношення:

$\sin n\alpha=2\sin \alpha\cos(n-1)\alpha+\sin(n-2)\alpha,$

$\cos n\alpha=2\cos \alpha\cos(n-1)\alpha+\cos(n-2)\alpha.$

Формули половинного кута

Формули половинного кута
$\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}\,$
$\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}\,$
$\operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}\,$
$\operatorname{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}\,$

Формули пониження степеня

Формули пониження степеня виводяться з формул (24):

Синус		Косинус		Інше
$\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$	(26)	$\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$	(27)	$\sin^2\alpha \cos^2\alpha = \frac{1 - \cos 4\alpha}{8}$
$\sin^3\alpha = \frac{3 \sin\alpha - \sin 3\alpha}{4}$		$\cos^3\alpha = \frac{3 \cos\alpha + \cos 3\alpha}{4}$		$\sin^3\alpha \cos^3\alpha = \frac{3\sin 2\alpha - \sin 6\alpha}{32}$
$\sin^4\alpha = \frac{3 - 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha}{8}$		$\cos^4\alpha = \frac{3 + 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha}{8}$		$\sin^4\alpha \cos^4\alpha = \frac{3-4\cos 4\alpha + \cos 8\alpha}{128}$
$\sin^5\alpha = \frac{10 \sin\alpha - 5 \sin 3\alpha + \sin 5\alpha}{16}$		$\cos^5\alpha = \frac{10 \cos\alpha + 5 \cos 3\alpha + \cos 5\alpha}{16}$		$\sin^5\alpha \cos^5\alpha = \frac{10\sin 2\alpha - 5\sin 6\alpha + \sin 10\alpha}{512}$

Загальні формули пониження степеня

Загальні формули пониження степеня
$\sin^{2n}\alpha=\frac{1}{2^{2n-1}}\left(\binom{2n}{n}+\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n+k}\binom{2n}{k}\cos2(n-k)\alpha\right)\,$
$\sin^{2n+1}\alpha=\frac{1}{2^{2n-1}}\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n+k}\binom{2n+1}{k}\cos(2(n-k)+1)\alpha$
$\cos^{2n}\alpha=\frac{1}{2^{2n-1}}\left(\binom{2n}{n}+\sum_{k=0}^{n}\binom{2n}{k}\cos2(n-k)\alpha\right)$
$\cos^{2n+1}\alpha=\frac{1}{2^{2n-1}}\sum_{k=0}^{n}\binom{2n+1}{k}\cos(2(n-k)+1)\alpha$

де $\binom{n}{k}$ — біноміальний коефіцієнт.

Формули перетворення добутків функцій

Формули перетворення добутків функцій
$\sin \alpha \sin \beta = \frac{ \cos ( \alpha - \beta) - \cos ( \alpha + \beta)}{2}$	(28)
$\sin \alpha \cos \beta = \frac{ \sin ( \alpha + \beta) + \sin ( \alpha - \beta)}{2}$	(29)
$\cos \alpha \cos \beta = \frac{ \cos ( \alpha + \beta) + \cos ( \alpha - \beta)}{2}$	(30)

Формули перетворення суми функцій

Формули перетворення суми функцій
$\sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \frac{ \alpha \pm \beta}{2} \cos \frac{ \alpha \mp \beta}{2}$	(31)
$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{ \alpha + \beta}{2} \cos \frac{ \alpha - \beta}{2}$	(32)
$\cos \alpha - \cos \beta = - 2 \sin \frac{ \alpha + \beta}{2} \sin \frac{ \alpha - \beta}{2}$	(33)
$\mathop{\mathrm{tg}} \alpha \pm \mathop{\mathrm{tg}} \beta = \frac{ \sin ( \alpha \pm \beta)}{ \cos \alpha \cos \beta}$	(34)
$\mathop{\mathrm{ctg}} \alpha \pm \mathop{\mathrm{ctg}} \beta = \frac{ \pm \sin ( \alpha \pm \beta)}{ \sin \alpha \sin \beta}$	(35)

Обернені тригонометричні функції

$\arcsin(x)+\arccos(x)=\pi/2\;$

$\arctan(x)+\arccot(x)=\pi/2.\;$

$\arctan(x)+\arctan(1/x)=\left\{\begin{matrix} \pi/2, & \mbox{if }x > 0 \\ -\pi/2, & \mbox{if }x < 0 \end{matrix}\right.$

Поєднання тригонометричних та обернених їм функцій

Поєднання тригонометричних та обернених їм функцій
$\sin[\arccos(x)]=\sqrt{1-x^2} \,$	$\tan[\arcsin (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$
$\sin[\arctan(x)]=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$	$\tan[\arccos (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$
$\cos[\arctan(x)]=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$	$\cot[\arcsin (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$
$\cos[\arcsin(x)]=\sqrt{1-x^2} \,$	$\cot[\arccos (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$

Розв’язок найпростіших тригонометричних рівнянь

• $\operatorname{sin} x = a$.

Якщо $|a|>1$ — дійсних розв’язків не існує.

Якщо $|a| \le 1$ — роз’язком є число виду $x=(-1)^n \arcsin a + \pi n; n \in \mathbb Z$.

• $\operatorname{cos} x = a$.

Якщо $|a|>1$ — розв’язків нема.

Якщо $|a| \le 1$ — роз’язком є число виду $x=\pm \arccos a + 2 \pi n; n \in \mathbb Z$.

• $\operatorname{tg} x = a$.

Розв’язком є число виду $x=\operatorname{arctg} a + \pi n; n \in \mathbb Z$.

• $\operatorname{ctg} x = a$.

Розв’язком є число виду $x=\operatorname{arcctg} a + \pi n; n \in \mathbb Z$.

Універсальна тригонометрична підстановка

Тотожності мають зміст лише тоді, коли існують обидві частини (тобто при $\alpha\neq \pi +2 \pi n$).

• $\operatorname{sin} \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \displaystyle\frac {\alpha}{2}} {1+\operatorname{tg}^{2} \displaystyle\frac{\alpha}{2} }$ ;

• $\operatorname{cos} \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^{2} \displaystyle\frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^{2}\displaystyle\frac{\alpha}{2}}$ ;

• $\operatorname{tg} \alpha = \frac{2 \operatorname{tg}\displaystyle \frac {\alpha}{2}} {1-\operatorname{tg}^{2}\displaystyle \frac{\alpha}{2}}$ .

Допоміжний аргумент (метод Юніса)

$a \sin x \pm b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin \left(x \pm \arcsin{\frac{b} \sqrt{a^2 + b^2}}\right)$ ,

$a \cos x \pm b \sin x = \sqrt{a^2 + b^2} \cos \left(x \mp \arccos{\frac{a} \sqrt{a^2 + b^2}}\right)$ .

Дивись також

• Тригонометричні функції
• Таблиця інтегралів тригонометричних функцій