Список тригонометричних тотожностей

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Тригонометричні тотожності — математичні вирази з тригонометричними функціями, що виконуються для всіх значень аргумента зі спільної області визначення.

Зміст

Основні позначення[ред.ред. код]

Кути[ред.ред. код]

В цій статті кути позначаються грецькими буквами і т. д. Величину кута найчастіше задають в градусах або радіанах:

1 повне коло  = 360 градусів = 2 радіан  

В наступній таблиці наведено спвівідношення між значеннями в градусах і радіанах для деяких кутів

Градуси 30° 60° 120° 150° 210° 240° 300° 330°
Радіани
Градуси 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360°
Радіани

Якщо не сказано інакше, то всі кути вважаються заданими у радіанах, а кути, що закінчуються символом (°) — в градусах.

Тригонометричні функції[ред.ред. код]

У статті будуть наведені співвідношення та тотожності для шести основних тригонометричних функцій:

  • синус
  • косинус
  • тангенс


  • котангенс


  • секанс


  • косеканс

В англомовній літературі тангенс та котангенс зазвичай позначають та відповідно.

Обернені тригонометричні функції[ред.ред. код]

Обернені тригонометричні функції це такі функції композиція яких зі звичайними тригонометричними функціями дає тотожне відображення. Наприклад, функція обернена до синуса, відома як обернений синус (sin−1) чи арксинус (arcsin or asin), задовольняє співвідношення

та

Тригонометричні функції та обернені до них наведені в наступній таблиці:

Функція sin cos tg ctg sec csc
Обернена arcsin arccos arctg arcctg arcsec arccsc

Екзотичні тригонометричні функції[ред.ред. код]

Крім основних шести, також використовуються інші тригонометричні функції кута. Їх використовували раніше при розв'язуванні різних навігаційних задач, однак з розвитком обчислювальної техніки вони втратили свою актуальність.

Назва Скорочене позн. Значення
синус-верзус

косинус-верзус
коверсинус
коверкосинус
гаверсинус
гаверкосинус
когаверсинус
когаверкосинус
ексеканс
екскосеканс
хорда

Таблиці значень тригонометричних функцій[ред.ред. код]

Значення тригонометричних функцій для найпоширеніших значень кутів (в радіанах)

В тих точках, де значення тангенса та котангенса прямують до нескінченності знак залежить від того з якого боку до цієї точки ми підходимо.

Для тангенса — якщо справа, то , а якщо зліва, то . Для котангенса навпаки.

Значення тригонометричних функцій для деяких кутів

Основні тригонометричні формули[ред.ред. код]

Основні формули
(1)
(2)
(3)

Формула (1) є наслідком теореми Піфагора (Тригонометрична тотожність Піфагора). Формули (2) і (3) добуваються діленням формули (1) на та відповідно.

Співвідношення між основними тригонометричними функціями[ред.ред. код]

Кожна з тригонометричних функцій виражена через п'ять інших.

Формули зведення[ред.ред. код]

Сукупність формул, що відображають симетрію тригонометричних функцій відносно певних значень кутів, перетворення при зсуві аргументу на деякий кут, а також періодичність тригонометричних функцій.

Симетрія[ред.ред. код]

Виконуються наступні співвідношення:

Симетрія відносно кута Симетрія відносно
(співвідношення між ко-функціями)
Симетрія відносно

Зсув та періодичність[ред.ред. код]

Співвідношення часто використовуються для спрощення обчислень.

Зсув на π/2 Зсув на π
Період tg і ctg
Зсув на 2π
Період sin, cos, csc і sec

Формули для суми аргументів[ред.ред. код]

Формули для суми аргументів
(5)
(6)
(7)

Формула (7) отримується діленням (5) на (6).

Синус і косинус від нескінченної суми[ред.ред. код]

У правих частинах рівності сума береться по всіх підмножинах натуральних чисел з 2k+1 чи 2k елементів відповідно.

Тангенси від сум аргументів[ред.ред. код]

Нехай  — елементарні симетричні многочлени степеня k від n змінних

Наприклад:

Тоді

Наприклад:

і так далі.

Секанс і косеканс від суми аргументів[ред.ред. код]

де ek — елементарні симетричні многочлени степеня k від n змінних (дивись пункт тангенси від сум аргументів)

Наприклад,

Формули подвійного кута[ред.ред. код]

Формули подвійного кута виводяться із формул (5), (6) і (7), якщо прийняти, що кут β рівний α:

Формули подвійного кута
(23)
(24)
(25)

Формули потрійного кута[ред.ред. код]

Формули потрійного кута

Формули кратних кутів[ред.ред. код]

Формули кратних кутів

де  — ціла частина числа ,  — біноміальний коефіцієнт.

Ітераційні формули[ред.ред. код]

З використанням спеціальних многочленів[ред.ред. код]

Мають місце такі співвідношення:

де  — поліном Чебишова першого роду степеня n.

Представлення у вигляді скінченних добутків[ред.ред. код]



Формули половинного кута[ред.ред. код]

Формули половинного кута

Знак перед виразом обирається у відповідності з тим, до якого квадранту належить кут .

Формули пониження степеня[ред.ред. код]

Формули пониження степеня виводяться з формул подвійного кута:

Синус Косинус Інше

Загальні формули пониження степеня[ред.ред. код]

Загальні формули пониження степеня

де  — біноміальний коефіцієнт.

Формули перетворення добутків функцій[ред.ред. код]

Формули перетворення добутків функцій
(28)
(29)
(30)
(31)
(32)
(33)
(34)

Формули перетворення суми функцій[ред.ред. код]

Формули перетворення суми функцій
(35)
(36)
(37)
(38)
(39)
(40)
(41)
(42)
(43)
(43)

Загальні суми[ред.ред. код]








Якщо ж таке, що , то при отримуємо

Ядро Діріхле та ядро Фейєра[ред.ред. код]

Сума виду

називається ядром Діріхле.

А функція

називається ядром Фейєра

,

Вони використовуються при сумуванні рядів Фур'є.

Представлення через нескінченні добутки[ред.ред. код]

Співвдношення за додаткових обмежень на значення кутів[ред.ред. код]

  • Нехай

тоді





Зауважимо, що наведені вище співвідношення справджуються, якщо  — кути деякого трикутника.


  • Нехай

тоді


  • Нехай

тоді

Обернені тригонометричні функції[ред.ред. код]

Зв'язок між оберненими тригонометричними функціями для x>0


Поєднання тригонометричних та обернених їм функцій[ред.ред. код]

Поєднання тригонометричних та обернених їм функцій

Додавання обернених тригонометричних функцій[ред.ред. код]

Нехай такі, що , тоді

Розв'язок найпростіших тригонометричних рівнянь[ред.ред. код]

  • .
Якщо  — дійсних розв'язків не існує.
Якщо  — роз'язком є число виду .
  • .
Якщо  — розв'язків нема.
Якщо  — роз'язком є число виду .
  • .
Розв'язком є число виду .
  • .
Розв'язком є число виду .

Розв'язок найпростіших тригонометричних нерівностей[ред.ред. код]

Вид нерівності Множина розв'язків,

Одна корисна нерівність[ред.ред. код]

Для довільного з інтервалу виконуються такі нерівності:

Універсальна тригонометрична підстановка[ред.ред. код]

Тотожності мають зміст лише тоді, коли існують обидві частини (тобто при ).


Допоміжний аргумент (метод Юніса)[ред.ред. код]

Перші дві формули можуть бути узагальненими

де

Зв'язок з комплексною екпонентою[ред.ред. код]

 — формула Ейлера,

Експоненційне представлення тригонометричних функцій та обернених їм[ред.ред. код]

Функція Обернена функція

Числові співвідношення[ред.ред. код]







Різне[ред.ред. код]





Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. — Москва : Наука, 1979. — 832 с.
  • Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — Москва : Физматгиз, 1963. — 1100 с.