Список тригонометричних тотожностей

Тригонометричні тотожності — математичні вирази з тригонометричними функціями, що виконуються для всіх значень аргумента зі спільної області визначення.

Основні позначення

Кути

В цій статті кути позначаються грецькими буквами $\alpha ,\beta ,\gamma$$\alpha ,\beta ,\gamma$ і т. д. Величину кута найчастіше задають в градусах або радіанах:

1 повне коло  = 360 градусів = 2$\pi$$\pi$ радіан  

В наступній таблиці наведено спвівідношення між значеннями в градусах і радіанах для деяких кутів

Градуси	30°	60°	120°	150°	210°	240°	300°	330°
Радіани	${\frac {\pi }{6}}\!$${\frac \pi 6}\!$	${\frac {\pi }{3}}\!$${\frac \pi 3}\!$	${\frac {2\pi }{3}}\!$${\frac {2\pi }3}\!$	${\frac {5\pi }{6}}\!$${\frac {5\pi }6}\!$	${\frac {7\pi }{6}}\!$${\frac {7\pi }6}\!$	${\frac {4\pi }{3}}\!$${\frac {4\pi }3}\!$	${\frac {5\pi }{3}}\!$${\frac {5\pi }3}\!$	${\frac {11\pi }{6}}\!$${\frac {11\pi }6}\!$
Градуси	45°	90°	135°	180°	225°	270°	315°	360°
Радіани	${\frac {\pi }{4}}\!$${\frac \pi 4}\!$	${\frac {\pi }{2}}\!$${\frac \pi 2}\!$	${\frac {3\pi }{4}}\!$${\frac {3\pi }4}\!$	$\pi \!$$\pi \!$	${\frac {5\pi }{4}}\!$${\frac {5\pi }4}\!$	${\frac {3\pi }{2}}\!$${\frac {3\pi }2}\!$	${\frac {7\pi }{4}}\!$${\frac {7\pi }4}\!$	$2\pi \!$$2\pi \!$

Якщо не сказано інакше, то всі кути вважаються заданими у радіанах, а кути, що закінчуються символом (°) — в градусах.

Тригонометричні функції

У статті будуть наведені співвідношення та тотожності для шести основних тригонометричних функцій:

• синус $\sin \alpha ,$$\sin \alpha ,$

• косинус $\cos \alpha ,$$\cos \alpha ,$

• тангенс $\mathrm {tg} \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }},\quad \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n,\,n\in \mathbb {Z} ,$${\mathrm {tg}}\alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }},\quad \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n,\,n\in {\mathbb {Z}},$

• котангенс $\mathrm {ctg} \alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }},\quad \alpha \neq \pi n,\,n\in \mathbb {Z} ,$${\mathrm {ctg}}\alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }},\quad \alpha \neq \pi n,\,n\in {\mathbb {Z}},$

• секанс $\mathrm {sec} \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }},\quad \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n,\,n\in \mathbb {Z} ,$${\mathrm {sec}}\alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }},\quad \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n,\,n\in {\mathbb {Z}},$

• косеканс $\mathrm {csc} \alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }},\quad \alpha \neq \pi n,\,n\in \mathbb {Z} ,$${\mathrm {csc}}\alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }},\quad \alpha \neq \pi n,\,n\in {\mathbb {Z}},$

В англомовній літературі тангенс та котангенс зазвичай позначають $\tan \alpha$$\tan \alpha$ та $\cot \alpha ,$$\cot \alpha ,$ відповідно.

Обернені тригонометричні функції

Обернені тригонометричні функції це такі функції композиція яких зі звичайними тригонометричними функціями дає тотожне відображення. Наприклад, функція обернена до синуса, відома як обернений синус (sin⁻¹) чи арксинус (arcsin or asin), задовольняє співвідношення

$\sin(\arcsin x)=x,\quad \quad |x|\leq 1$$\sin(\arcsin x)=x,\quad \quad |x|\leq 1$

та

$\arcsin(\sin x)=x,\quad \quad |x|\leq {\frac {\pi }{2}}.$$\arcsin(\sin x)=x,\quad \quad |x|\leq {\frac {\pi }{2}}.$

Тригонометричні функції та обернені до них наведені в наступній таблиці:

Функція	sin	cos	tg	ctg	sec	csc
Обернена	arcsin	arccos	arctg	arcctg	arcsec	arccsc

Екзотичні тригонометричні функції

Крім основних шести, також використовуються інші тригонометричні функції кута. Їх використовували раніше при розв'язуванні різних навігаційних задач, однак з розвитком обчислювальної техніки вони втратили свою актуальність.

Назва	Скорочене позн.	Значення
синус-верзус	$\operatorname {versin} (\theta )$$\operatorname {versin}(\theta )$ $\operatorname {vers} (\theta )$$\operatorname {vers}(\theta )$ $\operatorname {ver} (\theta )$$\operatorname {ver}(\theta )$	$1-\cos(\theta )$$1-\cos(\theta )$
косинус-верзус	$\operatorname {vercosin} (\theta )$$\operatorname {vercosin}(\theta )$	$1+\cos(\theta )$$1+\cos(\theta )$
коверсинус	$\operatorname {coversin} (\theta )$$\operatorname {coversin}(\theta )$ $\operatorname {cvs} (\theta )$$\operatorname {cvs}(\theta )$	$1-\sin(\theta )$$1-\sin(\theta )$
коверкосинус	$\operatorname {covercosin} (\theta )$$\operatorname {covercosin}(\theta )$	$1+\sin(\theta )$$1+\sin(\theta )$
гаверсинус	$\operatorname {haversin} (\theta )$$\operatorname {haversin}(\theta )$	${\frac {1-\cos(\theta )}{2}}$${\frac {1-\cos(\theta )}{2}}$
гаверкосинус	$\operatorname {havercosin} (\theta )$$\operatorname {havercosin}(\theta )$	${\frac {1+\cos(\theta )}{2}}$${\frac {1+\cos(\theta )}{2}}$
когаверсинус	$\operatorname {hacoversin} (\theta )$$\operatorname {hacoversin}(\theta )$	${\frac {1-\sin(\theta )}{2}}$${\frac {1-\sin(\theta )}{2}}$
когаверкосинус	$\operatorname {hacovercosin} (\theta )$$\operatorname {hacovercosin}(\theta )$	${\frac {1+\sin(\theta )}{2}}$${\frac {1+\sin(\theta )}{2}}$
ексеканс	$\operatorname {exsec} (\theta )$$\operatorname {exsec}(\theta )$	$\sec(\theta )-1$$\sec(\theta )-1$
екскосеканс	$\operatorname {excsc} (\theta )$$\operatorname {excsc}(\theta )$	$\csc(\theta )-1$$\csc(\theta )-1$
хорда	$\operatorname {crd} (\theta )$$\operatorname {crd}(\theta )$	$2\sin {\frac {\theta }{2}}$$2\sin {\frac {\theta }{2}}$

Таблиці значень тригонометричних функцій

Значення тригонометричних функцій для найпоширеніших значень кутів (в радіанах)

	$0$$0$	${\frac {\pi }{6}}$${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {\pi }{4}}$${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {\pi }{3}}$${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {\pi }{2}}$${\frac {\pi }{2}}$	${\frac {2\pi }{3}}$${\frac {2\pi }{3}}$	${\frac {3\pi }{4}}$${\frac {3\pi }{4}}$	${\frac {5\pi }{6}}$${\frac {5\pi }{6}}$	$\pi$$\pi$	${\frac {3\pi }{2}}$${\frac {3\pi }{2}}$
$\sin \alpha =$$\sin \alpha =$	$0$$0$	${\frac {1}{2}}$${\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$${\frac {{\sqrt {2}}}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$${\frac {{\sqrt {3}}}{2}}$	$1$$1$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$${\frac {{\sqrt {3}}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$${\frac {{\sqrt {2}}}{2}}$	${\frac {1}{2}}$${\frac {1}{2}}$	$0$$0$	$-1$$-1$
$\cos \alpha =$$\cos \alpha =$	$1$$1$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$${\frac {{\sqrt {3}}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$${\frac {{\sqrt {2}}}{2}}$	${\frac {1}{2}}$${\frac {1}{2}}$	$0$$0$	$-{\frac {1}{2}}$$-{\frac {1}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$$-{\frac {{\sqrt {2}}}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$$-{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}$	$-1$$-1$	$0$$0$
$\mathrm {tg} \alpha =$${\mathrm {tg}}\alpha =$	$0$$0$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$${\frac {{\sqrt {3}}}{3}}$	$1$$1$	${\sqrt {3}}$${\sqrt {3}}$	$\pm \infty$$\pm \infty$	$-{\sqrt {3}}$$-{\sqrt {3}}$	$-1$$-1$	$-{\frac {\sqrt {3}}{3}}$$-{\frac {{\sqrt {3}}}{3}}$	$0$$0$	$\pm \infty$$\pm \infty$
$\mathrm {ctg} \alpha =\!$${\mathrm {ctg}}\alpha =\!$	$\pm \infty$$\pm \infty$	${\sqrt {3}}$${\sqrt {3}}$	$1$$1$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$${\frac {{\sqrt {3}}}{3}}$	$0$$0$	$-{\frac {\sqrt {3}}{3}}$$-{\frac {{\sqrt {3}}}{3}}$	$-1$$-1$	$-{\sqrt {3}}$$-{\sqrt {3}}$	$\pm \infty$$\pm \infty$	$0$$0$

В тих точках, де значення тангенса та котангенса прямують до нескінченності знак залежить від того з якого боку до цієї точки ми підходимо.

Для тангенса — якщо справа, то $+\infty$$+\infty$, а якщо зліва, то $-\infty$$-\infty$. Для котангенса навпаки.

Значення тригонометричних функцій для деяких кутів

	${\frac {\pi }{16}}$${\frac {\pi }{16}}$	${\frac {\pi }{15}}$${\frac {\pi }{15}}$	${\frac {\pi }{12}}$${\frac {\pi }{12}}$	${\frac {\pi }{10}}$${\frac {\pi }{10}}$	${\frac {\pi }{8}}$${\frac {\pi }{8}}$	${\frac {\pi }{5}}$${\frac {\pi }{5}}$
$\sin \alpha =$$\sin \alpha =$	${\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}$${\frac {{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}{2}}$	${\frac {{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}(1-{\sqrt {5}})}{8}}$${\frac {{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}(1-{\sqrt {5}})}{8}}$	${\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}{2}}$${\frac {{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}}{2}}$	${\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$${\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$	${\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}$${\frac {{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}{2}}$	${\frac {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}{8}}$${\frac {{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{8}}$
$\cos \alpha =$$\cos \alpha =$	${\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}$${\frac {{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}{2}}$	${\frac {{\sqrt {3}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}-1}{8}}$${\frac {{\sqrt {3}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}-1}{8}}$	${\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}$${\frac {{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}{2}}$	${\frac {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}{8}}$${\frac {{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{8}}$	${\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}$${\frac {{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}{2}}$	${\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}$${\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}$

Основні тригонометричні формули

Основні формули
$~\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$$~\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$	(1)
$\mathrm {tg} ^{2}\alpha +1={\frac {1}{\cos ^{2}\alpha }}=\operatorname {sec} ^{2}\alpha$${\mathrm {tg}}^{2}\alpha +1={\frac {1}{\cos ^{2}\alpha }}=\operatorname {sec}^{2}\alpha$	(2)
$\mathrm {ctg} ^{2}\alpha +1={\frac {1}{\sin ^{2}\alpha }}=\operatorname {csc} ^{2}\alpha$${\mathrm {ctg}}^{2}\alpha +1={\frac {1}{\sin ^{2}\alpha }}=\operatorname {csc}^{2}\alpha$	(3)

Формула (1) є наслідком теореми Піфагора (Тригонометрична тотожність Піфагора). Формули (2) і (3) добуваються діленням формули (1) на $\cos ^{2}\alpha$$\cos ^{2}\alpha$ та $\sin ^{2}\alpha$$\sin ^{2}\alpha$ відповідно.

Співвідношення між основними тригонометричними функціями

Кожна з тригонометричних функцій виражена через п'ять інших.

	$\sin \alpha \!$$\sin \alpha \!$	$\cos \alpha \!$$\cos \alpha \!$	$\mathrm {tg} \alpha \!$${\mathrm {tg}}\alpha \!$	$\csc \alpha \!$$\csc \alpha \!$	$\sec \alpha \!$$\sec \alpha \!$	$\mathrm {ctg} \alpha \!$${\mathrm {ctg}}\alpha \!$
$\sin \alpha =\!$$\sin \alpha =\!$	$\sin \alpha \$$\sin \alpha \$	$\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }}\!$$\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }}\!$	$\pm {\frac {\mathrm {tg} \alpha }{\sqrt {1+\mathrm {tg} ^{2}\alpha }}}\!$$\pm {\frac {{\mathrm {tg}}\alpha }{{\sqrt {1+{\mathrm {tg}}^{2}\alpha }}}}\!$	${\frac {1}{\csc \alpha }}\!$${\frac {1}{\csc \alpha }}\!$	$\pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\alpha -1}}{\sec \alpha }}\!$$\pm {\frac {{\sqrt {\sec ^{2}\alpha -1}}}{\sec \alpha }}\!$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\mathrm {ctg} ^{2}\alpha }}}\!$$\pm {\frac {1}{{\sqrt {1+{\mathrm {ctg}}^{2}\alpha }}}}\!$
$\cos \alpha =\!$$\cos \alpha =\!$	$\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }}\!$$\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }}\!$	$\cos \alpha \!$$\cos \alpha \!$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\mathrm {tg} ^{2}\alpha }}}\!$$\pm {\frac {1}{{\sqrt {1+{\mathrm {tg}}^{2}\alpha }}}}\!$	$\pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\alpha -1}}{\csc \alpha }}\!$$\pm {\frac {{\sqrt {\csc ^{2}\alpha -1}}}{\csc \alpha }}\!$	${\frac {1}{\sec \alpha }}\!$${\frac {1}{\sec \alpha }}\!$	$\pm {\frac {\mathrm {ctg} \alpha }{\sqrt {1+\mathrm {ctg} ^{2}\alpha }}}\!$$\pm {\frac {{\mathrm {ctg}}\alpha }{{\sqrt {1+{\mathrm {ctg}}^{2}\alpha }}}}\!$
$\mathrm {tg} \alpha =\!$${\mathrm {tg}}\alpha =\!$	$\pm {\frac {\sin \alpha }{\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }}}\!$$\pm {\frac {\sin \alpha }{{\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }}}}\!$	$\pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }}{\cos \alpha }}\!$$\pm {\frac {{\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }}}{\cos \alpha }}\!$	$\mathrm {tg} \alpha \!$${\mathrm {tg}}\alpha \!$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\alpha -1}}}\!$$\pm {\frac {1}{{\sqrt {\csc ^{2}\alpha -1}}}}\!$	$\pm {\sqrt {\sec ^{2}\alpha -1}}\!$$\pm {\sqrt {\sec ^{2}\alpha -1}}\!$	${\frac {1}{\mathrm {ctg} \alpha }}\!$${\frac {1}{{\mathrm {ctg}}\alpha }}\!$
$\csc \alpha =\!$$\csc \alpha =\!$	${\frac {1}{\sin \alpha }}\!$${\frac {1}{\sin \alpha }}\!$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }}}\!$$\pm {\frac {1}{{\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }}}}\!$	$\pm {\frac {\sqrt {1+\mathrm {tg} ^{2}\alpha }}{\mathrm {tg} \alpha }}\!$$\pm {\frac {{\sqrt {1+{\mathrm {tg}}^{2}\alpha }}}{{\mathrm {tg}}\alpha }}\!$	$\csc \alpha \!$$\csc \alpha \!$	$\pm {\frac {\sec \alpha }{\sqrt {\sec ^{2}\alpha -1}}}\!$$\pm {\frac {\sec \alpha }{{\sqrt {\sec ^{2}\alpha -1}}}}\!$	$\pm {\sqrt {1+\mathrm {ctg} ^{2}\alpha }}\!$$\pm {\sqrt {1+{\mathrm {ctg}}^{2}\alpha }}\!$
$\sec \alpha =\!$$\sec \alpha =\!$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }}}\!$$\pm {\frac {1}{{\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }}}}\!$	${\frac {1}{\cos \alpha }}\!$${\frac {1}{\cos \alpha }}\!$	$\pm {\sqrt {1+\mathrm {tg} ^{2}\alpha }}\!$$\pm {\sqrt {1+{\mathrm {tg}}^{2}\alpha }}\!$	$\pm {\frac {\csc \alpha }{\sqrt {\csc ^{2}\alpha -1}}}\!$$\pm {\frac {\csc \alpha }{{\sqrt {\csc ^{2}\alpha -1}}}}\!$	$\sec \alpha \!$$\sec \alpha \!$	$\pm {\frac {\sqrt {1+\mathrm {ctg} ^{2}\alpha }}{\mathrm {ctg} \alpha }}\!$$\pm {\frac {{\sqrt {1+{\mathrm {ctg}}^{2}\alpha }}}{{\mathrm {ctg}}\alpha }}\!$
$\mathrm {ctg} \alpha =\!$${\mathrm {ctg}}\alpha =\!$	$\pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }}{\sin \alpha }}\!$$\pm {\frac {{\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }}}{\sin \alpha }}\!$	$\pm {\frac {\cos \alpha }{\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }}}\!$$\pm {\frac {\cos \alpha }{{\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }}}}\!$	${\frac {1}{\mathrm {tg} \alpha }}\!$${\frac {1}{{\mathrm {tg}}\alpha }}\!$	$\pm {\sqrt {\csc ^{2}\alpha -1}}\!$$\pm {\sqrt {\csc ^{2}\alpha -1}}\!$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\alpha -1}}}\!$$\pm {\frac {1}{{\sqrt {\sec ^{2}\alpha -1}}}}\!$	$\mathrm {ctg} \alpha \!$${\mathrm {ctg}}\alpha \!$

Формули зведення

Сукупність формул, що відображають симетрію тригонометричних функцій відносно певних значень кутів, перетворення при зсуві аргументу на деякий кут, а також періодичність тригонометричних функцій.

Симетрія

Виконуються наступні співвідношення:

Симетрія відносно кута $\alpha =0$$\alpha =0$	Симетрія відносно $\alpha =\pi /2$$\alpha =\pi /2$ (співвідношення між ко-функціями)	Симетрія відносно $\alpha =\pi$$\alpha =\pi$
${\begin{aligned}\sin(-\alpha )&=-\sin \alpha \\\cos(-\alpha )&=+\cos \alpha \\\mathrm {tg} \,(-\alpha )&=-\mathrm {tg} \alpha \\\csc(-\alpha )&=-\csc \alpha \\\sec(-\alpha )&=+\sec \alpha \\\mathrm {ctg} (-\alpha )&=-\mathrm {ctg} \alpha \\\end{aligned}}$${\begin{aligned}\sin(-\alpha )&=-\sin \alpha \\\cos(-\alpha )&=+\cos \alpha \\{\mathrm {tg}}\,(-\alpha )&=-{\mathrm {tg}}\alpha \\\csc(-\alpha )&=-\csc \alpha \\\sec(-\alpha )&=+\sec \alpha \\{\mathrm {ctg}}(-\alpha )&=-{\mathrm {ctg}}\alpha \\\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\sin({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha )&=+\cos \alpha \\\cos({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha )&=+\sin \alpha \\\mathrm {tg} ({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha )&=+\mathrm {ctg} \alpha \\\csc({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha )&=+\sec \alpha \\\sec({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha )&=+\csc \alpha \\\mathrm {ctg} ({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha )&=+\mathrm {tg} \alpha \\\end{aligned}}$${\begin{aligned}\sin({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha )&=+\cos \alpha \\\cos({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha )&=+\sin \alpha \\{\mathrm {tg}}({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha )&=+{\mathrm {ctg}}\alpha \\\csc({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha )&=+\sec \alpha \\\sec({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha )&=+\csc \alpha \\{\mathrm {ctg}}({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha )&=+{\mathrm {tg}}\alpha \\\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\sin(\pi -\alpha )&=+\sin \alpha \\\cos(\pi -\alpha )&=-\cos \alpha \\\mathrm {tg} (\pi -\alpha )&=-\mathrm {tg} \alpha \\\csc(\pi -\alpha )&=+\csc \alpha \\\sec(\pi -\alpha )&=-\sec \alpha \\\mathrm {ctg} (\pi -\alpha )&=-\mathrm {ctg} \alpha \\\end{aligned}}$${\begin{aligned}\sin(\pi -\alpha )&=+\sin \alpha \\\cos(\pi -\alpha )&=-\cos \alpha \\{\mathrm {tg}}(\pi -\alpha )&=-{\mathrm {tg}}\alpha \\\csc(\pi -\alpha )&=+\csc \alpha \\\sec(\pi -\alpha )&=-\sec \alpha \\{\mathrm {ctg}}(\pi -\alpha )&=-{\mathrm {ctg}}\alpha \\\end{aligned}}$

Зсув та періодичність

Співвідношення часто використовуються для спрощення обчислень.

Зсув на π/2	Зсув на π Період tg і ctg	Зсув на 2π Період sin, cos, csc і sec
${\begin{aligned}\sin(\alpha +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\cos \alpha \\\cos(\alpha +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\sin \alpha \\\mathrm {tg} (\alpha +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\mathrm {ctg} \alpha \\\csc(\alpha +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\sec \alpha \\\sec(\alpha +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\csc \alpha \\\mathrm {ctg} (\alpha +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\mathrm {tg} \alpha \end{aligned}}$${\begin{aligned}\sin(\alpha +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\cos \alpha \\\cos(\alpha +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\sin \alpha \\{\mathrm {tg}}(\alpha +{\tfrac {\pi }{2}})&=-{\mathrm {ctg}}\alpha \\\csc(\alpha +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\sec \alpha \\\sec(\alpha +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\csc \alpha \\{\mathrm {ctg}}(\alpha +{\tfrac {\pi }{2}})&=-{\mathrm {tg}}\alpha \end{aligned}}$	${\begin{aligned}\sin(\alpha +\pi )&=-\sin \alpha \\\cos(\alpha +\pi )&=-\cos \alpha \\\mathrm {tg} (\alpha +\pi )&=+\mathrm {tg} \alpha \\\csc(\alpha +\pi )&=-\csc \alpha \\\sec(\alpha +\pi )&=-\sec \alpha \\\mathrm {ctg} (\alpha +\pi )&=+\mathrm {ctg} \alpha \\\end{aligned}}$${\begin{aligned}\sin(\alpha +\pi )&=-\sin \alpha \\\cos(\alpha +\pi )&=-\cos \alpha \\{\mathrm {tg}}(\alpha +\pi )&=+{\mathrm {tg}}\alpha \\\csc(\alpha +\pi )&=-\csc \alpha \\\sec(\alpha +\pi )&=-\sec \alpha \\{\mathrm {ctg}}(\alpha +\pi )&=+{\mathrm {ctg}}\alpha \\\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\sin(\alpha +2\pi )&=+\sin \alpha \\\cos(\alpha +2\pi )&=+\cos \alpha \\\mathrm {tg} (\alpha +2\pi )&=+\mathrm {tg} \alpha \\\csc(\alpha +2\pi )&=+\csc \alpha \\\sec(\alpha +2\pi )&=+\sec \alpha \\\mathrm {ctg} (\alpha +2\pi )&=+\mathrm {ctg} \alpha \end{aligned}}$${\begin{aligned}\sin(\alpha +2\pi )&=+\sin \alpha \\\cos(\alpha +2\pi )&=+\cos \alpha \\{\mathrm {tg}}(\alpha +2\pi )&=+{\mathrm {tg}}\alpha \\\csc(\alpha +2\pi )&=+\csc \alpha \\\sec(\alpha +2\pi )&=+\sec \alpha \\{\mathrm {ctg}}(\alpha +2\pi )&=+{\mathrm {ctg}}\alpha \end{aligned}}$

Формули для суми аргументів

Формули для суми аргументів
$\sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$$\sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$	(5)
$\cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$$\cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$	(6)
${\mathop {\mathrm {tg} }}\left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {{\mathop {\mathrm {tg} }}\alpha \pm {\mathop {\mathrm {tg} }}\beta }{1\mp {\mathop {\mathrm {tg} }}\alpha {\mathop {\mathrm {tg} }}\beta }}$${\mathop {{\mathrm {tg}}}}\left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {{\mathop {{\mathrm {tg}}}}\alpha \pm {\mathop {{\mathrm {tg}}}}\beta }{1\mp {\mathop {{\mathrm {tg}}}}\alpha {\mathop {{\mathrm {tg}}}}\beta }}$	(7)
$\mathrm {ctg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {{\mathop {\mathrm {ctg} }}\alpha {\mathop {\mathrm {ctg} }}\beta \mp 1}{{\mathop {\mathrm {ctg} }}\alpha \pm {\mathop {\mathrm {ctg} }}\beta }}$${\mathrm {ctg}}\left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {{\mathop {{\mathrm {ctg}}}}\alpha {\mathop {{\mathrm {ctg}}}}\beta \mp 1}{{\mathop {{\mathrm {ctg}}}}\alpha \pm {\mathop {{\mathrm {ctg}}}}\beta }}$

Формула (7) отримується діленням (5) на (6).

Синус і косинус від нескінченної суми

$\sin \left(\sum _{i=1}^{\infty }\alpha _{i}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=2k+1\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \alpha _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \alpha _{i}\right),$$\sin \left(\sum _{{i=1}}^{\infty }\alpha _{i}\right)=\sum _{{k=0}}^{\infty }(-1)^{{k}}\sum _{{{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=2k+1\end{smallmatrix}}}}\left(\prod _{{i\in A}}\sin \alpha _{i}\prod _{{i\not \in A}}\cos \alpha _{i}\right),$

$\cos \left(\sum _{i=1}^{\infty }\alpha _{i}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }~(-1)^{k}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=2k\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \alpha _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \alpha _{i}\right).$$\cos \left(\sum _{{i=1}}^{\infty }\alpha _{i}\right)=\sum _{{k=0}}^{\infty }~(-1)^{{k}}~~\sum _{{{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=2k\end{smallmatrix}}}}\left(\prod _{{i\in A}}\sin \alpha _{i}\prod _{{i\not \in A}}\cos \alpha _{i}\right).$

У правих частинах рівності сума береться по всіх підмножинах натуральних чисел з 2k+1 чи 2k елементів відповідно.

Тангенси від сум аргументів

Нехай $e_{k}=e_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\,k=0,1,2,\ldots ,n=1,2,3\ldots ,$$e_{k}=e_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\,k=0,1,2,\ldots ,n=1,2,3\ldots ,$ — елементарні симетричні многочлени степеня k від n змінних

$x_{i}=\mathrm {tg} \,\alpha _{i}\quad i=1,2,\ldots ,n.$$x_{i}={\mathrm {tg}}\,\alpha _{i}\quad i=1,2,\ldots ,n.$

Наприклад:

$e_{0}=1,$$e_{0}=1,$

$e_{1}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}=\sum _{i}\mathrm {tg} \alpha _{i},$$e_{1}=\sum _{{i=1}}^{n}x_{i}=\sum _{i}{\mathrm {tg}}\alpha _{i},$

$e_{2}=\sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}=\sum _{i<j}\mathrm {tg} \alpha _{i}\mathrm {tg} \alpha _{j},$$e_{2}=\sum _{{1\leq i<j\leq n}}x_{i}x_{j}=\sum _{{i<j}}{\mathrm {tg}}\alpha _{i}{\mathrm {tg}}\alpha _{j},$

$e_{3}=\sum _{1\leq i<j<k\leq n}x_{i}x_{j}x_{k}=\sum _{i<j<k}\mathrm {tg} \alpha _{i}\mathrm {tg} \alpha _{j}\mathrm {tg} \alpha _{k}.$$e_{3}=\sum _{{1\leq i<j<k\leq n}}x_{i}x_{j}x_{k}=\sum _{{i<j<k}}{\mathrm {tg}}\alpha _{i}{\mathrm {tg}}\alpha _{j}{\mathrm {tg}}\alpha _{k}.$

Тоді

$\mathrm {tg} \left(\sum _{i=1}^{2k}\alpha _{i}\right)={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots +(-1)^{k+1}e_{2k-1}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots +(-1)^{k}e_{2k}}}={\frac {\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i+1}e_{2i-1}}{\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}e_{2i}}},\!$${\mathrm {tg}}\left(\sum _{{i=1}}^{{2k}}\alpha _{i}\right)={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots +(-1)^{{k+1}}e_{{2k-1}}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots +(-1)^{k}e_{{2k}}}}={\frac {\sum _{{i=1}}^{{k}}(-1)^{{i+1}}e_{{2i-1}}}{\sum _{{i=0}}^{{k}}(-1)^{i}e_{{2i}}}},\!$

$\mathrm {tg} \left(\sum _{i=1}^{2k+1}\alpha _{i}\right)={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots +(-1)^{k}e_{2k+1}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots +(-1)^{k}e_{2k}}}={\frac {\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i}e_{2i+1}}{\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}e_{2i}}}.\!$${\mathrm {tg}}\left(\sum _{{i=1}}^{{2k+1}}\alpha _{i}\right)={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots +(-1)^{{k}}e_{{2k+1}}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots +(-1)^{k}e_{{2k}}}}={\frac {\sum _{{i=1}}^{{k}}(-1)^{{i}}e_{{2i+1}}}{\sum _{{i=0}}^{{k}}(-1)^{i}e_{{2i}}}}.\!$

Наприклад:

${\begin{aligned}\mathrm {tg} (\alpha _{1}+\alpha _{2})&={\frac {e_{1}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{1\ -\ x_{1}x_{2}}}={\frac {\mathrm {tg} \,\alpha _{1}+\mathrm {tg} \,\alpha _{2}}{1\ -\ \mathrm {tg} \,\alpha _{1}\mathrm {tg} \,\alpha _{2}}},\\[8pt]\mathrm {tg} (\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}}={\frac {\mathrm {tg} \,\alpha _{1}+\mathrm {tg} \,\alpha _{2}+\mathrm {tg} \,\alpha _{3}-\mathrm {tg} \,\alpha _{1}\mathrm {tg} \,\alpha _{2}\mathrm {tg} \,\alpha _{3}}{1-(\mathrm {tg} \,\alpha _{1}\,\mathrm {tg} \,\alpha _{2}+\mathrm {tg} \,\alpha _{1}\,\mathrm {tg} \,\alpha _{3}+\mathrm {tg} \,\alpha _{2}\mathrm {tg} \,\alpha _{3})}},\\[8pt]\mathrm {tg} (\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}+\alpha _{4})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\[8pt]&={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}}\end{aligned}}$${\begin{aligned}{\mathrm {tg}}(\alpha _{1}+\alpha _{2})&={\frac {e_{1}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{1\ -\ x_{1}x_{2}}}={\frac {{\mathrm {tg}}\,\alpha _{1}+{\mathrm {tg}}\,\alpha _{2}}{1\ -\ {\mathrm {tg}}\,\alpha _{1}{\mathrm {tg}}\,\alpha _{2}}},\\[8pt]{\mathrm {tg}}(\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}}={\frac {{\mathrm {tg}}\,\alpha _{1}+{\mathrm {tg}}\,\alpha _{2}+{\mathrm {tg}}\,\alpha _{3}-{\mathrm {tg}}\,\alpha _{1}{\mathrm {tg}}\,\alpha _{2}{\mathrm {tg}}\,\alpha _{3}}{1-({\mathrm {tg}}\,\alpha _{1}\,{\mathrm {tg}}\,\alpha _{2}+{\mathrm {tg}}\,\alpha _{1}\,{\mathrm {tg}}\,\alpha _{3}+{\mathrm {tg}}\,\alpha _{2}{\mathrm {tg}}\,\alpha _{3})}},\\[8pt]{\mathrm {tg}}(\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}+\alpha _{4})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\[8pt]&={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}}\end{aligned}}$

і так далі.

Секанс і косеканс від суми аргументів

${\begin{aligned}\sec \left(\sum _{i}^{n}\alpha _{i}\right)&={\frac {\displaystyle \prod _{i}^{n}\sec \alpha _{i}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}={\frac {\displaystyle \prod _{i}^{n}\sec \alpha _{i}}{\displaystyle \sum _{0\leq 2k\leq n}(-1)^{k}e_{2k}}}\\[8pt]\csc \left(\sum _{i}^{n}\alpha _{i}\right)&={\frac {\displaystyle \prod _{i}^{n}\sec \alpha _{i}}{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}={\frac {\displaystyle \prod _{i}^{n}\sec \alpha _{i}}{\displaystyle \sum _{1\leq 2k+1\leq n}(-1)^{k}e_{2k+1}}}\end{aligned}}$${\begin{aligned}\sec \left(\sum _{i}^{n}\alpha _{i}\right)&={\frac {\displaystyle \prod _{i}^{n}\sec \alpha _{i}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}={\frac {\displaystyle \prod _{i}^{n}\sec \alpha _{i}}{\displaystyle \sum _{{0\leq 2k\leq n}}(-1)^{{k}}e_{{2k}}}}\\[8pt]\csc \left(\sum _{i}^{n}\alpha _{i}\right)&={\frac {\displaystyle \prod _{i}^{n}\sec \alpha _{i}}{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}={\frac {\displaystyle \prod _{i}^{n}\sec \alpha _{i}}{\displaystyle \sum _{{1\leq 2k+1\leq n}}(-1)^{{k}}e_{{2k+1}}}}\end{aligned}}$

де e_k — елементарні симетричні многочлени степеня k від n змінних (дивись пункт тангенси від сум аргументів)

$x_{i}=\mathrm {tg} \alpha _{i}\quad i=1,2,\ldots ,n.$$x_{i}={\mathrm {tg}}\alpha _{i}\quad i=1,2,\ldots ,n.$

Наприклад,

${\begin{aligned}\sec(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\mathrm {tg} \,\alpha \,\mathrm {tg} \,\beta -\mathrm {tg} \,\alpha \,\mathrm {tg} \,\gamma -\mathrm {tg} \,\beta \,\mathrm {tg} \,\gamma }},\\[8pt]\csc(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{\mathrm {tg} \,\alpha +\mathrm {tg} \,\beta +\mathrm {tg} \,\gamma -\mathrm {tg} \,\alpha \,\mathrm {tg} \,\beta \,\mathrm {tg} \gamma }}.\end{aligned}}$${\begin{aligned}\sec(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-{\mathrm {tg}}\,\alpha \,{\mathrm {tg}}\,\beta -{\mathrm {tg}}\,\alpha \,{\mathrm {tg}}\,\gamma -{\mathrm {tg}}\,\beta \,{\mathrm {tg}}\,\gamma }},\\[8pt]\csc(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{{\mathrm {tg}}\,\alpha +{\mathrm {tg}}\,\beta +{\mathrm {tg}}\,\gamma -{\mathrm {tg}}\,\alpha \,{\mathrm {tg}}\,\beta \,{\mathrm {tg}}\gamma }}.\end{aligned}}$

Формули подвійного кута

Формули подвійного кута виводяться із формул (5), (6) і (7), якщо прийняти, що кут β рівний α:

Формули подвійного кута
${\mathop {\mathrm {sin} }}2\alpha =2{\sin \alpha }{\cos \alpha }$${\mathop {{\mathrm {sin}}}}2\alpha =2{\sin \alpha }{\cos \alpha }$	(23)
${\mathop {\mathrm {cos} }}2\alpha ={\cos ^{2}\alpha }-{\sin ^{2}\alpha }=2{\cos ^{2}\alpha }-1={1-2{\mathrm {sin} }^{2}\alpha }={\frac {1-{\mathop {\mathrm {tg} }}^{2}\alpha }{1+{\mathop {\mathrm {tg} }}^{2}\alpha }}$${\mathop {{\mathrm {cos}}}}2\alpha ={\cos ^{2}\alpha }-{\sin ^{2}\alpha }=2{\cos ^{2}\alpha }-1={1-2{{\mathrm {sin}}}^{2}\alpha }={\frac {1-{\mathop {{\mathrm {tg}}}}^{2}\alpha }{1+{\mathop {{\mathrm {tg}}}}^{2}\alpha }}$	(24)
${\mathop {\mathrm {tg} }}\,2\alpha ={\frac {2{\mathop {\mathrm {tg} }}\alpha }{1-{\mathop {\mathrm {tg} }}^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }}$${\mathop {{\mathrm {tg}}}}\,2\alpha ={\frac {2{\mathop {{\mathrm {tg}}}}\alpha }{1-{\mathop {{\mathrm {tg}}}}^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {ctg}\,\alpha -\operatorname {tg}\,\alpha }}$	(25)
${\mathop {\mathrm {ctg} }}\,2\alpha ={\frac {{\mathop {\mathrm {ctg} }}^{2}\alpha -1}{2{\mathop {\mathrm {ctg} }}\,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}$${\mathop {{\mathrm {ctg}}}}\,2\alpha ={\frac {{\mathop {{\mathrm {ctg}}}}^{2}\alpha -1}{2{\mathop {{\mathrm {ctg}}}}\,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg}\,\alpha -\operatorname {tg}\,\alpha }{2}}$

Формули потрійного кута

Формули потрійного кута
$\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha =4\sin \alpha \sin \left({\frac {\pi }{3}}-\alpha \right)\sin \left({\frac {\pi }{3}}+\alpha \right)\,$$\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha =4\sin \alpha \sin \left({\frac {\pi }{3}}-\alpha \right)\sin \left({\frac {\pi }{3}}+\alpha \right)\,$
$\cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha =4\cos \alpha \cos \left({\frac {\pi }{3}}-\alpha \right)\cos \left({\frac {\pi }{3}}+\alpha \right)\,$$\cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha =4\cos \alpha \cos \left({\frac {\pi }{3}}-\alpha \right)\cos \left({\frac {\pi }{3}}+\alpha \right)\,$
$\operatorname {tg} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {tg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\mathop {\mathrm {tg} }}\,\alpha \,\mathrm {tg} \left({\frac {\pi }{3}}-\alpha \right)\mathrm {tg} \left({\frac {\pi }{3}}+\alpha \right)$$\operatorname {tg}3\alpha ={\frac {3\operatorname {tg}\alpha -\operatorname {tg}^{3}\alpha }{1-3\operatorname {tg}^{2}\alpha }}={\mathop {{\mathrm {tg}}}}\,\alpha \,{\mathrm {tg}}\left({\frac {\pi }{3}}-\alpha \right){\mathrm {tg}}\left({\frac {\pi }{3}}+\alpha \right)$
$\operatorname {ctg} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {ctg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}=\mathrm {ctg} \,\alpha \,\mathrm {ctg} \left({\frac {\pi }{3}}-\alpha \right)\mathrm {ctg} \left({\frac {\pi }{3}}+\alpha \right)$$\operatorname {ctg}3\alpha ={\frac {3\operatorname {ctg}\alpha -\operatorname {ctg}^{3}\alpha }{1-3\operatorname {ctg}^{2}\alpha }}={\mathrm {ctg}}\,\alpha \,{\mathrm {ctg}}\left({\frac {\pi }{3}}-\alpha \right){\mathrm {ctg}}\left({\frac {\pi }{3}}+\alpha \right)$

Формули кратних кутів

Формули кратних кутів
$\sin(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\cos ^{n-2k-1}\alpha \,\sin ^{2k+1}\alpha$$\sin(n\alpha )=\sum _{{k=0}}^{{[n/2]}}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\cos ^{{n-2k-1}}\alpha \,\sin ^{{2k+1}}\alpha$
$\cos(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\cos ^{n-2k}\alpha \,\sin ^{2k}\alpha$$\cos(n\alpha )=\sum _{{k=0}}^{{[n/2]}}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\cos ^{{n-2k}}\alpha \,\sin ^{{2k}}\alpha$
$\mathrm {tg} (n\alpha )={\frac {\sin(n\alpha )}{\cos(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\mathrm {tg} ^{2k+1}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\mathrm {tg} ^{2k}\alpha }}}$${\mathrm {tg}}(n\alpha )={\frac {\sin(n\alpha )}{\cos(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{{k=0}}^{{[n/2]}}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}{\mathrm {tg}}^{{2k+1}}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{{k=0}}^{{[n/2]}}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}{\mathrm {tg}}^{{2k}}\alpha }}}$
$\mathrm {ctg} (n\alpha )={\frac {\cos(n\alpha )}{\sin(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\mathrm {ctg} ^{n-2k}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\mathrm {ctg} ^{n-2k-1}\alpha }}}$${\mathrm {ctg}}(n\alpha )={\frac {\cos(n\alpha )}{\sin(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{{k=0}}^{{[n/2]}}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}{\mathrm {ctg}}^{{n-2k}}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{{k=0}}^{{[n/2]}}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}{\mathrm {ctg}}^{{n-2k-1}}\alpha }}}$

де $[n]$$[n]$ — ціла частина числа $n$$n$, ${\binom {n}{k}}$${\binom {n}{k}}$ — біноміальний коефіцієнт.

Вивід формул  

Формули для кратних кутів виводяться за допомогою формули Муавра

$\left(\cos \alpha +i\sin \alpha \right)^{n}=\cos \left(n\alpha \right)+i\sin \left(n\alpha \right),\quad i^{2}=-1.$$\left(\cos \alpha +i\sin \alpha \right)^{n}=\cos \left(n\alpha \right)+i\sin \left(n\alpha \right),\quad i^{2}=-1.$

Розкриємо праву частину рівності за формулою бінома Ньютона

$\left(\cos \alpha +i\sin \alpha \right)^{n}=\sum _{q=0}^{n}{n \choose q}(\cos \alpha )^{n-q}(i\sin \alpha )^{q}.$$\left(\cos \alpha +i\sin \alpha \right)^{n}=\sum _{{q=0}}^{{n}}{n \choose q}(\cos \alpha )^{{n-q}}(i\sin \alpha )^{{q}}.$

Врахувавши, що $i^{2k}=(-1)^{k},\,i^{2k+1}=(-1)^{k}i,\,k\in \mathbb {Z} _{+},$$i^{{2k}}=(-1)^{k},\,i^{{2k+1}}=(-1)^{k}i,\,k\in {\mathbb {Z}}_{+},$ та виділивши окремо дійсну та уявну частини, рівність запишемо у вигляді

$\left(\cos \alpha +i\sin \alpha \right)^{n}=\sum _{k=0}^{[n/2]}{n \choose 2k}(-1)^{k}(\cos \alpha )^{n-2k}(\sin \alpha )^{2k}+i\left(\sum _{k=0}^{[n/2]}{n \choose 2k+1}(-1)^{k}(\cos \alpha )^{n-2k-1}(\sin \alpha )^{2k+1}\right).$$\left(\cos \alpha +i\sin \alpha \right)^{n}=\sum _{{k=0}}^{{[n/2]}}{n \choose 2k}(-1)^{k}(\cos \alpha )^{{n-2k}}(\sin \alpha )^{{2k}}+i\left(\sum _{{k=0}}^{{[n/2]}}{n \choose 2k+1}(-1)^{k}(\cos \alpha )^{{n-2k-1}}(\sin \alpha )^{{2k+1}}\right).$

Підставимо отриману рівність у формулу Муавра

$\sum _{k=0}^{[n/2]}{n \choose 2k}(-1)^{k}(\cos \alpha )^{n-2k}(\sin \alpha )^{2k}+i\left(\sum _{k=0}^{[n/2]}{n \choose 2k+1}(-1)^{k}(\cos \alpha )^{n-2k-1}(\sin \alpha )^{2k+1}\right)=\cos \left(n\alpha \right)+i\sin \left(n\alpha \right).$$\sum _{{k=0}}^{{[n/2]}}{n \choose 2k}(-1)^{k}(\cos \alpha )^{{n-2k}}(\sin \alpha )^{{2k}}+i\left(\sum _{{k=0}}^{{[n/2]}}{n \choose 2k+1}(-1)^{k}(\cos \alpha )^{{n-2k-1}}(\sin \alpha )^{{2k+1}}\right)=\cos \left(n\alpha \right)+i\sin \left(n\alpha \right).$

Оскільки два комплексні числа рівні тоді і лише тоді коли рівні їхні дійсні та уявні частини, то з останньої рівності отримуємо шукані формули

$\sin(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\cos ^{n-2k-1}\alpha \,\sin ^{2k+1}\alpha ,$$\sin(n\alpha )=\sum _{{k=0}}^{{[n/2]}}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\cos ^{{n-2k-1}}\alpha \,\sin ^{{2k+1}}\alpha ,$

$\cos(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\cos ^{n-2k}\alpha \,\sin ^{2k}\alpha .$$\cos(n\alpha )=\sum _{{k=0}}^{{[n/2]}}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\cos ^{{n-2k}}\alpha \,\sin ^{{2k}}\alpha .$

Ітераційні формули

$\sin(n+1)\alpha =2\sin \alpha \cos n\alpha +\sin(n-1)\alpha ,$$\sin(n+1)\alpha =2\sin \alpha \cos n\alpha +\sin(n-1)\alpha ,$

$\cos(n+1)\alpha =2\cos \alpha \cos n\alpha +\cos(n-1)\alpha .$$\cos(n+1)\alpha =2\cos \alpha \cos n\alpha +\cos(n-1)\alpha .$

$\mathrm {tg} \,(n{+}1)\alpha ={\frac {\mathrm {tg} (n\alpha )+\mathrm {tg} \alpha }{1-\mathrm {tg} (n\alpha )\,\mathrm {tg} \alpha }}.$${\mathrm {tg}}\,(n{+}1)\alpha ={\frac {{\mathrm {tg}}(n\alpha )+{\mathrm {tg}}\alpha }{1-{\mathrm {tg}}(n\alpha )\,{\mathrm {tg}}\alpha }}.$

$\mathrm {ctg} \,(n{+}1)\alpha ={\frac {\mathrm {ctg} (n\alpha )\,\mathrm {ctg} \alpha -1}{\mathrm {ctg} (n\alpha )+\mathrm {ctg} \alpha }}.$${\mathrm {ctg}}\,(n{+}1)\alpha ={\frac {{\mathrm {ctg}}(n\alpha )\,{\mathrm {ctg}}\alpha -1}{{\mathrm {ctg}}(n\alpha )+{\mathrm {ctg}}\alpha }}.$

З використанням спеціальних многочленів

Мають місце такі співвідношення:

$\cos n\alpha =T_{n}(\cos \alpha ),\quad \sin ^{2}n\alpha ={\frac {1-T_{n}(1-2\sin ^{2}\alpha )}{2}},$$\cos n\alpha =T_{n}(\cos \alpha ),\quad \sin ^{2}n\alpha ={\frac {1-T_{n}(1-2\sin ^{2}\alpha )}{2}},$

де $T_{n}(x)$$T_{n}(x)$ — поліном Чебишова першого роду степеня n.

Представлення у вигляді скінченних добутків

$\sin 2m\alpha =2m\sin \alpha \cos \alpha \prod _{k=1}^{m-1}\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\displaystyle \sin {\frac {\pi k}{2m}}}}\right),\quad \cos 2m\alpha =\prod _{k=1}^{m}\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\displaystyle \sin {\frac {\pi (2k-1)}{4m}}}}\right),\quad m\in \mathbb {N} ,$$\sin 2m\alpha =2m\sin \alpha \cos \alpha \prod _{{k=1}}^{{m-1}}\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\displaystyle \sin {\frac {\pi k}{2m}}}}\right),\quad \cos 2m\alpha =\prod _{{k=1}}^{{m}}\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\displaystyle \sin {\frac {\pi (2k-1)}{4m}}}}\right),\quad m\in {\mathbb {N}},$

$\sin(2m-1)\alpha =(2m-1)\sin \alpha \prod _{k=1}^{m-1}\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\displaystyle \sin {\frac {\pi k}{2m-1}}}}\right),\quad \cos(2m-1)\alpha =\cos \alpha \prod _{k=1}^{m}\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\displaystyle \sin {\frac {\pi (2k-1)}{2(2m-1)}}}}\right),\quad m\in \mathbb {N} ,$$\sin(2m-1)\alpha =(2m-1)\sin \alpha \prod _{{k=1}}^{{m-1}}\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\displaystyle \sin {\frac {\pi k}{2m-1}}}}\right),\quad \cos(2m-1)\alpha =\cos \alpha \prod _{{k=1}}^{{m}}\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\displaystyle \sin {\frac {\pi (2k-1)}{2(2m-1)}}}}\right),\quad m\in {\mathbb {N}},$

$\sin n\alpha =2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left(\alpha +{\frac {k\pi }{n}}\right),\quad \cos n\alpha =2^{n-1}\prod _{k=1}^{n}\sin \left(\alpha +{\frac {(2k-1)\pi }{2n}}\right).$$\sin n\alpha =2^{{n-1}}\prod _{{k=0}}^{{n-1}}\sin \left(\alpha +{\frac {k\pi }{n}}\right),\quad \cos n\alpha =2^{{n-1}}\prod _{{k=1}}^{{n}}\sin \left(\alpha +{\frac {(2k-1)\pi }{2n}}\right).$

Формули половинного кута

Формули половинного кута
$\sin {\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}\,$$\sin {\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {{\frac {1-\cos \alpha }{2}}}}\,$
$\cos {\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}\,$$\cos {\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {{\frac {1+\cos \alpha }{2}}}}\,$
$\operatorname {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}}={\frac {1-\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha }}\,$$\operatorname {tg}\,{\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {{\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}}}={\frac {1-\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha }}\,$
$\operatorname {ctg} \,{\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}}={\frac {\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}={\frac {1+\cos \alpha }{\sin \alpha }}\,$$\operatorname {ctg}\,{\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {{\frac {1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}}}={\frac {\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}={\frac {1+\cos \alpha }{\sin \alpha }}\,$

Знак перед виразом обирається у відповідності з тим, до якого квадранту належить кут ${\frac {\alpha }{2}}$${\frac {\alpha }{2}}$.

Формули пониження степеня

Формули пониження степеня виводяться з формул подвійного кута:

Синус	Косинус	Інше
$\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\alpha }{2}}$$\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\alpha }{2}}$	$\cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\alpha }{2}}$$\cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\alpha }{2}}$	$\sin ^{2}\alpha \cos ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 4\alpha }{8}}$$\sin ^{2}\alpha \cos ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 4\alpha }{8}}$
$\sin ^{3}\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin 3\alpha }{4}}$$\sin ^{3}\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin 3\alpha }{4}}$	$\cos ^{3}\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos 3\alpha }{4}}$$\cos ^{3}\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos 3\alpha }{4}}$	$\sin ^{3}\alpha \cos ^{3}\alpha ={\frac {3\sin 2\alpha -\sin 6\alpha }{32}}$$\sin ^{3}\alpha \cos ^{3}\alpha ={\frac {3\sin 2\alpha -\sin 6\alpha }{32}}$
$\sin ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8}}$$\sin ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8}}$	$\cos ^{4}\alpha ={\frac {3+4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8}}$$\cos ^{4}\alpha ={\frac {3+4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8}}$	$\sin ^{4}\alpha \cos ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 4\alpha +\cos 8\alpha }{128}}$$\sin ^{4}\alpha \cos ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 4\alpha +\cos 8\alpha }{128}}$
$\sin ^{5}\alpha ={\frac {10\sin \alpha -5\sin 3\alpha +\sin 5\alpha }{16}}$$\sin ^{5}\alpha ={\frac {10\sin \alpha -5\sin 3\alpha +\sin 5\alpha }{16}}$	$\cos ^{5}\alpha ={\frac {10\cos \alpha +5\cos 3\alpha +\cos 5\alpha }{16}}$$\cos ^{5}\alpha ={\frac {10\cos \alpha +5\cos 3\alpha +\cos 5\alpha }{16}}$	$\sin ^{5}\alpha \cos ^{5}\alpha ={\frac {10\sin 2\alpha -5\sin 6\alpha +\sin 10\alpha }{512}}$$\sin ^{5}\alpha \cos ^{5}\alpha ={\frac {10\sin 2\alpha -5\sin 6\alpha +\sin 10\alpha }{512}}$

Загальні формули пониження степеня

Загальні формули пониження степеня
$\sin ^{2n}\alpha ={\frac {1}{2^{2n-1}}}\left({\binom {2n}{n}}+\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n+k}{\binom {2n}{k}}\cos 2(n-k)\alpha \right)\,$$\sin ^{{2n}}\alpha ={\frac {1}{2^{{2n-1}}}}\left({\binom {2n}{n}}+\sum _{{k=0}}^{{n}}(-1)^{{n+k}}{\binom {2n}{k}}\cos 2(n-k)\alpha \right)\,$
$\sin ^{2n+1}\alpha ={\frac {1}{2^{2n}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n+k}{\binom {2n+1}{k}}\sin(2(n-k)+1)\alpha$$\sin ^{{2n+1}}\alpha ={\frac {1}{2^{{2n}}}}\sum _{{k=0}}^{{n}}(-1)^{{n+k}}{\binom {2n+1}{k}}\sin(2(n-k)+1)\alpha$
$\cos ^{2n}\alpha ={\frac {1}{2^{2n-1}}}\left({\binom {2n}{n}}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {2n}{k}}\cos 2(n-k)\alpha \right)$$\cos ^{{2n}}\alpha ={\frac {1}{2^{{2n-1}}}}\left({\binom {2n}{n}}+\sum _{{k=0}}^{{n}}{\binom {2n}{k}}\cos 2(n-k)\alpha \right)$
$\cos ^{2n+1}\alpha ={\frac {1}{2^{2n}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {2n+1}{k}}\cos(2(n-k)+1)\alpha$$\cos ^{{2n+1}}\alpha ={\frac {1}{2^{{2n}}}}\sum _{{k=0}}^{{n}}{\binom {2n+1}{k}}\cos(2(n-k)+1)\alpha$

де ${\binom {n}{k}}$${\binom {n}{k}}$ — біноміальний коефіцієнт.

Формули перетворення добутків функцій

Формули перетворення добутків функцій
$\sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}}$$\sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}}$	(28)
$\sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )}{2}}$$\sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )}{2}}$	(29)
$\cos \alpha \cos \beta ={\frac {\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )}{2}}$$\cos \alpha \cos \beta ={\frac {\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )}{2}}$	(30)
$\mathrm {tg} \alpha \,\mathrm {tg} \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )}}$${\mathrm {tg}}\alpha \,{\mathrm {tg}}\beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )}}$
$\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\cos(\alpha +\beta +\gamma )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )+\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\beta +\gamma -\alpha )}{4}}$$\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\cos(\alpha +\beta +\gamma )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )+\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\beta +\gamma -\alpha )}{4}}$	(31)
$\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\sin(\alpha +\beta +\gamma )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )+\sin(\alpha +\beta -\gamma )-\sin(\beta +\gamma -\alpha )}{4}}$$\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\sin(\alpha +\beta +\gamma )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )+\sin(\alpha +\beta -\gamma )-\sin(\beta +\gamma -\alpha )}{4}}$	(32)
$\,\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma ={\frac {-\cos(\alpha +\beta +\gamma )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )-\cos(\alpha +\beta -\gamma )-\cos(\beta +\gamma -\alpha )}{4}}$$\,\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma ={\frac {-\cos(\alpha +\beta +\gamma )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )-\cos(\alpha +\beta -\gamma )-\cos(\beta +\gamma -\alpha )}{4}}$	(33)
$\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ={\frac {-\sin(\alpha +\beta +\gamma )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )+\sin(\alpha +\beta -\gamma )+\sin(\beta +\gamma -\alpha )}{4}}$$\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ={\frac {-\sin(\alpha +\beta +\gamma )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )+\sin(\alpha +\beta -\gamma )+\sin(\beta +\gamma -\alpha )}{4}}$	(34)

Формули перетворення суми функцій

Формули перетворення суми функцій
$\sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2}}$$\sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2}}$	(35)
$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$	(36)
$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}$$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}$	(37)
${\mathop {\mathrm {tg} }}\alpha \pm {\mathop {\mathrm {tg} }}\beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}$${\mathop {{\mathrm {tg}}}}\alpha \pm {\mathop {{\mathrm {tg}}}}\beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}$	(38)
${\mathop {\mathrm {ctg} }}\alpha \pm {\mathop {\mathrm {ctg} }}\beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\sin \alpha \sin \beta }}$${\mathop {{\mathrm {ctg}}}}\alpha \pm {\mathop {{\mathrm {ctg}}}}\beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\sin \alpha \sin \beta }}$	(39)
${\mathop {\mathrm {tg} }}\alpha \pm {\mathop {\mathrm {ctg} }}\beta ={\frac {\pm \cos(\alpha \mp \beta )}{\cos \alpha \sin \beta }}$${\mathop {{\mathrm {tg}}}}\alpha \pm {\mathop {{\mathrm {ctg}}}}\beta ={\frac {\pm \cos(\alpha \mp \beta )}{\cos \alpha \sin \beta }}$	(40)
${\mathop {\mathrm {tg} }}\alpha +{\mathop {\mathrm {ctg} }}\alpha ={\frac {1}{\cos \alpha \sin \alpha }}=2\csc 2\alpha$${\mathop {{\mathrm {tg}}}}\alpha +{\mathop {{\mathrm {ctg}}}}\alpha ={\frac {1}{\cos \alpha \sin \alpha }}=2\csc 2\alpha$	(41)
${\mathop {\mathrm {tg} }}\alpha -{\mathop {\mathrm {ctg} }}\alpha =-2{\mathop {\mathrm {ctg} }}2\alpha$${\mathop {{\mathrm {tg}}}}\alpha -{\mathop {{\mathrm {ctg}}}}\alpha =-2{\mathop {{\mathrm {ctg}}}}2\alpha$	(42)
$\cos \alpha +\sin \alpha ={\sqrt {2}}\cos \left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right)={\sqrt {2}}\sin \left({\frac {\pi }{4}}+\alpha \right)$$\cos \alpha +\sin \alpha ={\sqrt {2}}\cos \left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right)={\sqrt {2}}\sin \left({\frac {\pi }{4}}+\alpha \right)$	(43)
$\cos \alpha -\sin \alpha ={\sqrt {2}}\sin \left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right)={\sqrt {2}}\cos \left({\frac {\pi }{4}}+\alpha \right)$$\cos \alpha -\sin \alpha ={\sqrt {2}}\sin \left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right)={\sqrt {2}}\cos \left({\frac {\pi }{4}}+\alpha \right)$	(43)

Загальні суми

• $\sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha =\cos \alpha +\cos 3\alpha +\cos 5\alpha +\ldots +\cos(2n-1)\alpha ={\frac {\sin 2n\alpha }{2\sin \alpha }},\quad n\geq 1,$$\sum _{{k=1}}^{n}\cos(2k-1)\alpha =\cos \alpha +\cos 3\alpha +\cos 5\alpha +\ldots +\cos(2n-1)\alpha ={\frac {\sin 2n\alpha }{2\sin \alpha }},\quad n\geq 1,$

• $\sum _{k=0}^{n}\sin(2k-1)\alpha =\sin \alpha +\sin 3\alpha +\sin 5\alpha +\ldots +\sin(2n-1)\alpha ={\frac {\sin ^{2}n\alpha }{\sin \alpha }},\quad n\geq 1,$$\sum _{{k=0}}^{n}\sin(2k-1)\alpha =\sin \alpha +\sin 3\alpha +\sin 5\alpha +\ldots +\sin(2n-1)\alpha ={\frac {\sin ^{2}n\alpha }{\sin \alpha }},\quad n\geq 1,$

• $\sum _{k=0}^{n}\cos(\varphi +k\alpha )=\cos \varphi +\cos(\varphi +\alpha )+\cos(\varphi +2\alpha )+\ldots +\cos(\varphi +n\alpha )={\frac {\displaystyle \cos \left(\varphi +{\frac {n\alpha }{2}}\right)\sin {\frac {(n+1)\alpha }{2}}}{\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}}},\quad \alpha \neq 0,n\geq 1,$$\sum _{{k=0}}^{n}\cos(\varphi +k\alpha )=\cos \varphi +\cos(\varphi +\alpha )+\cos(\varphi +2\alpha )+\ldots +\cos(\varphi +n\alpha )={\frac {\displaystyle \cos \left(\varphi +{\frac {n\alpha }{2}}\right)\sin {\frac {(n+1)\alpha }{2}}}{\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}}},\quad \alpha \neq 0,n\geq 1,$

• $\sum _{k=0}^{n}\sin(\varphi +k\alpha )=\sin \varphi +\sin(\varphi +\alpha )+\sin(\varphi +2\alpha )+\ldots +\sin(\varphi +n\alpha )={\frac {\displaystyle \sin \left(\varphi +{\frac {n\alpha }{2}}\right)\sin {\frac {(n+1)\alpha }{2}}}{\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}}},\quad \alpha \neq 0,n\geq 1.$$\sum _{{k=0}}^{n}\sin(\varphi +k\alpha )=\sin \varphi +\sin(\varphi +\alpha )+\sin(\varphi +2\alpha )+\ldots +\sin(\varphi +n\alpha )={\frac {\displaystyle \sin \left(\varphi +{\frac {n\alpha }{2}}\right)\sin {\frac {(n+1)\alpha }{2}}}{\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}}},\quad \alpha \neq 0,n\geq 1.$

• $\sum _{k=0}^{n}\cos ^{2}(k\alpha )={\frac {\displaystyle 3+2n+\csc \alpha \sin(2n+1)\alpha }{4}},\quad \sum _{k=0}^{n}\sin ^{2}(k\alpha )={\frac {\displaystyle 1+2n-\csc \alpha \sin(2n+1)\alpha }{4}},\quad n\geq 1,$$\sum _{{k=0}}^{n}\cos ^{2}(k\alpha )={\frac {\displaystyle 3+2n+\csc \alpha \sin(2n+1)\alpha }{4}},\quad \sum _{{k=0}}^{n}\sin ^{2}(k\alpha )={\frac {\displaystyle 1+2n-\csc \alpha \sin(2n+1)\alpha }{4}},\quad n\geq 1,$

• $\sum _{k=1}^{n-1}k\cos(k\alpha )={\frac {n\displaystyle \sin {\frac {2n-1}{2}}\alpha }{2\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}}}-{\frac {1-\cos n\alpha }{4\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}},\quad \sum _{k=1}^{n-1}k\sin(k\alpha )={\frac {\sin n\alpha }{4\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}-{\frac {n\displaystyle \cos {\frac {2n-1}{2}}\alpha }{2\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}}},\quad n\geq 2,$$\sum _{{k=1}}^{{n-1}}k\cos(k\alpha )={\frac {n\displaystyle \sin {\frac {2n-1}{2}}\alpha }{2\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}}}-{\frac {1-\cos n\alpha }{4\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}},\quad \sum _{{k=1}}^{{n-1}}k\sin(k\alpha )={\frac {\sin n\alpha }{4\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}-{\frac {n\displaystyle \cos {\frac {2n-1}{2}}\alpha }{2\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}}},\quad n\geq 2,$

• $\sum _{k=0}^{n}p^{k}\cos(k\alpha )={\frac {1-p\cos \alpha -p^{n+1}\cos(n+1)\alpha -p^{n+2}\cos n\alpha }{1-2p\cos \alpha +p^{2}}},\quad n\geq 1,$$\sum _{{k=0}}^{n}p^{k}\cos(k\alpha )={\frac {1-p\cos \alpha -p^{{n+1}}\cos(n+1)\alpha -p^{{n+2}}\cos n\alpha }{1-2p\cos \alpha +p^{2}}},\quad n\geq 1,$

• $\sum _{k=0}^{n}p^{k}\sin(k\alpha )={\frac {p\sin \alpha -p^{n+1}\sin(n+1)\alpha -p^{n+2}\sin n\alpha }{1-2p\cos \alpha +p^{2}}},\quad n\geq 1.$$\sum _{{k=0}}^{n}p^{k}\sin(k\alpha )={\frac {p\sin \alpha -p^{{n+1}}\sin(n+1)\alpha -p^{{n+2}}\sin n\alpha }{1-2p\cos \alpha +p^{2}}},\quad n\geq 1.$

Якщо ж $p$$p$ таке, що $|p|<1$$|p|<1$, то при $n\rightarrow \infty$$n\rightarrow \infty$ отримуємо

• $\sum _{k=0}^{\infty }p^{k}\cos(k\alpha )={\frac {1-p\cos \alpha }{1-2p\cos \alpha +p^{2}}},\quad \sum _{k=0}^{\infty }p^{k}\sin(k\alpha )={\frac {p\sin \alpha }{1-2p\cos \alpha +p^{2}}}.$$\sum _{{k=0}}^{\infty }p^{k}\cos(k\alpha )={\frac {1-p\cos \alpha }{1-2p\cos \alpha +p^{2}}},\quad \sum _{{k=0}}^{\infty }p^{k}\sin(k\alpha )={\frac {p\sin \alpha }{1-2p\cos \alpha +p^{2}}}.$

Ядро Діріхле та ядро Фейєра

Сума виду

$D_{n}(x)={\frac {1}{2}}+\sum _{k=1}^{n}\cos(kx)={\frac {\sin \left(\left(n+\displaystyle {\frac {1}{2}}\right)x\right)}{2\sin \left(\displaystyle {\frac {x}{2}}\right)}}.$$D_{n}(x)={\frac {1}{2}}+\sum _{{k=1}}^{n}\cos(kx)={\frac {\sin \left(\left(n+\displaystyle {\frac {1}{2}}\right)x\right)}{2\sin \left(\displaystyle {\frac {x}{2}}\right)}}.$

називається ядром Діріхле.

А функція

$\Phi _{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}D_{k}(x),$$\Phi _{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\sum _{{k=0}}^{{n}}D_{k}(x),$

називається ядром Фейєра

$\Phi _{n}(x)={\frac {1}{2(n+1)}}\left({\frac {\sin \displaystyle {\frac {n+1}{2}}x}{\sin \displaystyle {\frac {x}{2}}}}\right)^{2}={\frac {1}{2(n+1)}}{\frac {1-\cos((n+1)x)}{1-\cos x}}$$\Phi _{{n}}(x)={\frac {1}{2(n+1)}}\left({\frac {\sin \displaystyle {\frac {n+1}{2}}x}{\sin \displaystyle {\frac {x}{2}}}}\right)^{2}={\frac {1}{2(n+1)}}{\frac {1-\cos((n+1)x)}{1-\cos x}}$,

Вони використовуються при сумуванні рядів Фур'є.

Представлення через нескінченні добутки

$\sin x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right),\qquad \cos x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-\displaystyle {\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-\displaystyle {\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\right),$$\sin x=x\prod _{{n=1}}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right),\qquad \cos x=\prod _{{n=1}}^{\infty }\left(1-\displaystyle {\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-\displaystyle {\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\right),$

Співвдношення за додаткових обмежень на значення кутів

• Нехай

$\alpha +\beta +\gamma =\pi ,$$\alpha +\beta +\gamma =\pi ,$

тоді

$\sin 2\alpha +\sin 2\beta +\sin 2\gamma =4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ,\,$$\sin 2\alpha +\sin 2\beta +\sin 2\gamma =4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ,\,$

$\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}},\,$$\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}},\,$

$\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma =2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +2,\,$$\sin ^{{2}}\alpha +\sin ^{{2}}\beta +\sin ^{{2}}\gamma =2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +2,\,$

$\cos 2\alpha +\cos 2\beta +\cos 2\gamma =-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1,\,$$\cos 2\alpha +\cos 2\beta +\cos 2\gamma =-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1,\,$

$\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}+1,$$\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}+1,$

$\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =-2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +1,\,$$\cos ^{{2}}\alpha +\cos ^{{2}}\beta +\cos ^{{2}}\gamma =-2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +1,\,$

$\mathrm {tg} \,\alpha +\mathrm {tg} \,\beta +\mathrm {tg} \,\gamma =\mathrm {tg} \,\alpha \,\mathrm {tg} \,\beta \,\mathrm {tg} \,\gamma ,\,$${\mathrm {tg}}\,\alpha +{\mathrm {tg}}\,\beta +{\mathrm {tg}}\,\gamma ={\mathrm {tg}}\,\alpha \,{\mathrm {tg}}\,\beta \,{\mathrm {tg}}\,\gamma ,\,$

$\mathrm {tg} \,{\frac {\beta }{2}}\mathrm {tg} \,{\frac {\gamma }{2}}+\mathrm {tg} \,{\frac {\gamma }{2}}\mathrm {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}+\mathrm {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}\mathrm {tg} \,{\frac {\beta }{2}}=1,$${\mathrm {tg}}\,{\frac {\beta }{2}}{\mathrm {tg}}\,{\frac {\gamma }{2}}+{\mathrm {tg}}\,{\frac {\gamma }{2}}{\mathrm {tg}}\,{\frac {\alpha }{2}}+{\mathrm {tg}}\,{\frac {\alpha }{2}}{\mathrm {tg}}\,{\frac {\beta }{2}}=1,$

$\mathrm {ctg} \,{\frac {\alpha }{2}}+\mathrm {ctg} \,{\frac {\beta }{2}}+\mathrm {ctg} \,{\frac {\gamma }{2}}=\mathrm {ctg} \,{\frac {\alpha }{2}}\cdot \mathrm {ctg} \,{\frac {\beta }{2}}\cdot \mathrm {ctg} \,{\frac {\gamma }{2}},$${\mathrm {ctg}}\,{\frac {\alpha }{2}}+{\mathrm {ctg}}\,{\frac {\beta }{2}}+{\mathrm {ctg}}\,{\frac {\gamma }{2}}={\mathrm {ctg}}\,{\frac {\alpha }{2}}\cdot {\mathrm {ctg}}\,{\frac {\beta }{2}}\cdot {\mathrm {ctg}}\,{\frac {\gamma }{2}},$

$\mathrm {ctg} \,\alpha \,\mathrm {ctg} \,\beta +\mathrm {ctg} \,\beta \,\mathrm {ctg} \,\gamma +\mathrm {ctg} \,\gamma \,\mathrm {ctg} \,\alpha =1.\,$${\mathrm {ctg}}\,\alpha \,{\mathrm {ctg}}\,\beta +{\mathrm {ctg}}\,\beta \,{\mathrm {ctg}}\,\gamma +{\mathrm {ctg}}\,\gamma \,{\mathrm {ctg}}\,\alpha =1.\,$

Зауважимо, що наведені вище співвідношення справджуються, якщо $\alpha ,\beta ,\gamma$$\alpha ,\beta ,\gamma$ — кути деякого трикутника.

• Нехай

$\alpha +\beta +\gamma ={\frac {\pi }{2}},$$\alpha +\beta +\gamma ={\frac {\pi }{2}},$

тоді

$\mathrm {ctg} (\alpha )+\mathrm {ctg} (\beta )+\mathrm {ctg} (\gamma )=\mathrm {ctg} (\alpha )\,\mathrm {ctg} (\beta )\,\mathrm {ctg} (\gamma ).$${\mathrm {ctg}}(\alpha )+{\mathrm {ctg}}(\beta )+{\mathrm {ctg}}(\gamma )={\mathrm {ctg}}(\alpha )\,{\mathrm {ctg}}(\beta )\,{\mathrm {ctg}}(\gamma ).$

• Нехай

$\alpha +\beta +\gamma +\theta =\pi ,$$\alpha +\beta +\gamma +\theta =\pi ,$

тоді

${\begin{aligned}\sin(\theta +\alpha )\sin(\alpha +\beta )&=\sin(\alpha +\beta )\sin(\beta +\gamma )\\&=\sin(\beta +\gamma )\sin(\gamma +\theta )\\&=\sin(\gamma +\theta )\sin(\theta +\alpha )\\&=\sin(\theta )\sin(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\gamma ).\end{aligned}}$${\begin{aligned}\sin(\theta +\alpha )\sin(\alpha +\beta )&=\sin(\alpha +\beta )\sin(\beta +\gamma )\\&=\sin(\beta +\gamma )\sin(\gamma +\theta )\\&=\sin(\gamma +\theta )\sin(\theta +\alpha )\\&=\sin(\theta )\sin(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\gamma ).\end{aligned}}$

Обернені тригонометричні функції

$\arcsin(-x)=-\arcsin(x),\quad \arccos(-x)=\pi -\arccos(x),\quad \arcsin(x)+\arccos(x)=\pi /2\;$$\arcsin(-x)=-\arcsin(x),\quad \arccos(-x)=\pi -\arccos(x),\quad \arcsin(x)+\arccos(x)=\pi /2\;$

$\mathrm {arctg} (-x)=-\mathrm {arctg} (x),\quad \mathrm {arcctg} (-x)=\pi -\mathrm {arcctg} (x),\quad \mathrm {arctg} (x)+\mathrm {arcctg} (x)=\pi /2.\;$${\mathrm {arctg}}(-x)=-{\mathrm {arctg}}(x),\quad {\mathrm {arcctg}}(-x)=\pi -{\mathrm {arcctg}}(x),\quad {\mathrm {arctg}}(x)+{\mathrm {arcctg}}(x)=\pi /2.\;$

$\mathrm {arctg} (x)+\mathrm {arctg} (1/x)=\left\{{\begin{matrix}\pi /2,&x>0,\\-\pi /2,&x<0.\end{matrix}}\right.$${\mathrm {arctg}}(x)+{\mathrm {arctg}}(1/x)=\left\{{\begin{matrix}\pi /2,&x>0,\\-\pi /2,&x<0.\end{matrix}}\right.$

Зв'язок між оберненими тригонометричними функціями для x>0

	$\arccos$$\arccos$	$\arcsin$$\arcsin$	$\mathrm {arctg} \,$${\mathrm {arctg}}\,$	$\mathrm {arcctg} \,$${\mathrm {arcctg}}\,$
$\arccos x=$$\arccos x=$	$\arccos x$$\arccos x$	${\frac {\pi }{2}}-\arcsin x$${\frac \pi 2}-\arcsin x$	$\mathrm {arctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$${\mathrm {arctg}}\,{\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}}x}$	$\mathrm {arcctg} \,{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$${\mathrm {arcctg}}\,{\frac x{{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
$\arcsin x=$$\arcsin x=$	${\frac {\pi }{2}}-\arccos x$${\frac \pi 2}-\arccos x$	$\arcsin x$$\arcsin x$	$\mathrm {arctg} \,{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$${\mathrm {arctg}}\,{\frac x{{\sqrt {1-x^{2}}}}}$	$\mathrm {arcctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$${\mathrm {arcctg}}\,{\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}}x}$
$\mathrm {arctg} \,x=$${\mathrm {arctg}}\,x=$	$\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$$\arccos {\frac 1{{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	$\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$$\arcsin {\frac x{{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	$\mathrm {arctg} \,x$${\mathrm {arctg}}\,x$	$\mathrm {arcctg} \,{\frac {1}{x}}$${\mathrm {arcctg}}\,{\frac 1x}$
$\mathrm {arcctg} \,x=$${\mathrm {arcctg}}\,x=$	$\arccos {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$$\arccos {\frac x{{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	$\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$$\arcsin {\frac 1{{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	$\mathrm {arctg} \,{\frac {1}{x}}$${\mathrm {arctg}}\,{\frac 1x}$	$\mathrm {arcctg} \,x$${\mathrm {arcctg}}\,x$

Поєднання тригонометричних та обернених їм функцій

Поєднання тригонометричних та обернених їм функцій
$\sin[\arccos(x)]={\sqrt {1-x^{2}}}\,$$\sin[\arccos(x)]={\sqrt {1-x^{2}}}\,$	$\mathrm {tg} [\arcsin(x)]={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$${\mathrm {tg}}[\arcsin(x)]={\frac {x}{{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
$\sin[\mathrm {arctg} (x)]={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$$\sin[{\mathrm {arctg}}(x)]={\frac {x}{{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	$\mathrm {tg} [\arccos(x)]={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$${\mathrm {tg}}[\arccos(x)]={\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}$
$\cos[\mathrm {arctg} (x)]={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$$\cos[{\mathrm {arctg}}(x)]={\frac {1}{{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	$\mathrm {ctg} [\arcsin(x)]={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$${\mathrm {ctg}}[\arcsin(x)]={\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}$
$\cos[\arcsin(x)]={\sqrt {1-x^{2}}}\,$$\cos[\arcsin(x)]={\sqrt {1-x^{2}}}\,$	$\mathrm {ctg} [\arccos(x)]={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$${\mathrm {ctg}}[\arccos(x)]={\frac {x}{{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

Додавання обернених тригонометричних функцій

Нехай $x,y$$x,y$ такі, що $|x|\leq 1,|y|\leq 1$$|x|\leq 1,|y|\leq 1$, тоді

$\arcsin(x)+\arcsin(y)=(-1)^{\varepsilon }\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)+\varepsilon \pi ,\quad \varepsilon =\left\{{\begin{matrix}0,&xy\leq 0,\\\operatorname {sgn} x,&xy>0,\end{matrix}}\right.$$\arcsin(x)+\arcsin(y)=(-1)^{\varepsilon }\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)+\varepsilon \pi ,\quad \varepsilon =\left\{{\begin{matrix}0,&xy\leq 0,\\\operatorname{sgn} x,&xy>0,\end{matrix}}\right.$

$\quad$$\quad$

$\arccos(x)+\arccos(y)=(-1)^{\varepsilon }\arccos \left(xy-{\sqrt {1-y^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}\right)+\varepsilon \pi ,\quad \varepsilon =\left\{{\begin{matrix}0,&x+y\geq 0,\\1,&x+y<0,\end{matrix}}\right.$$\arccos(x)+\arccos(y)=(-1)^{\varepsilon }\arccos \left(xy-{\sqrt {1-y^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}\right)+\varepsilon \pi ,\quad \varepsilon =\left\{{\begin{matrix}0,&x+y\geq 0,\\1,&x+y<0,\end{matrix}}\right.$

$\quad$$\quad$

$\mathrm {arctg} (x)+\mathrm {arctg} (y)=\mathrm {arctg} \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)+\varepsilon \pi ,\quad \varepsilon =\left\{{\begin{array}{ll}-1,&xy<1,\\0,&xy=1,\\1,&xy>1.\end{array}}\right.$${\mathrm {arctg}}(x)+{\mathrm {arctg}}(y)={\mathrm {arctg}}\left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)+\varepsilon \pi ,\quad \varepsilon =\left\{{\begin{array}{ll}-1,&xy<1,\\0,&xy=1,\\1,&xy>1.\end{array}}\right.$

Розв'язок найпростіших тригонометричних рівнянь

• $\operatorname {sin} x=a$$\operatorname {sin}x=a$.

Якщо $|a|>1$$|a|>1$ — дійсних розв'язків не існує.

Якщо $|a|\leq 1$$|a|\leq 1$ — роз'язком є число виду $x=(-1)^{n}\arcsin a+\pi n;n\in \mathbb {Z}$$x=(-1)^{n}\arcsin a+\pi n;n\in {\mathbb Z}$.

• $\operatorname {cos} x=a$$\operatorname {cos}x=a$.

Якщо $|a|>1$$|a|>1$ — розв'язків нема.

Якщо $|a|\leq 1$$|a|\leq 1$ — роз'язком є число виду $x=\pm \arccos a+2\pi n;n\in \mathbb {Z}$$x=\pm \arccos a+2\pi n;n\in {\mathbb Z}$.

• $\operatorname {tg} x=a$$\operatorname {tg}x=a$.

Розв'язком є число виду $x=\operatorname {arctg} a+\pi n;n\in \mathbb {Z}$$x=\operatorname {arctg}a+\pi n;n\in {\mathbb Z}$.

• $\operatorname {ctg} x=a$$\operatorname {ctg}x=a$.

Розв'язком є число виду $x=\operatorname {arcctg} a+\pi n;n\in \mathbb {Z}$$x=\operatorname {arcctg}a+\pi n;n\in {\mathbb Z}$.

Розв'язок найпростіших тригонометричних нерівностей

Вид нерівності	Множина розв'язків, $n\in \mathbb {Z}$$n\in {\mathbb {Z}}$
$\sin x>a\quad (|a|\leqslant 1)$$\sin x>a\quad (|a|\leqslant 1)$	$x\in (\arcsin a+2\pi n,\,\pi -\arcsin a+2\pi n)$$x\in (\arcsin a+2\pi n,\,\pi -\arcsin a+2\pi n)$
$\sin x<a\quad (|a|\leqslant 1)$$\sin x<a\quad (|a|\leqslant 1)$	$x\in (-\pi -\arcsin a+2\pi n,\,\arcsin a+2\pi n)$$x\in (-\pi -\arcsin a+2\pi n,\,\arcsin a+2\pi n)$
$\cos x>a\quad (|a|\leqslant 1)$$\cos x>a\quad (|a|\leqslant 1)$	$x\in (-\arccos a+2\pi n,\,\arccos a+2\pi n)$$x\in (-\arccos a+2\pi n,\,\arccos a+2\pi n)$
$\cos x<a\quad (|a|\leqslant 1)$$\cos x<a\quad (|a|\leqslant 1)$	$x\in (\arccos a+2\pi n,\,2\pi -\arccos a+2\pi n)$$x\in (\arccos a+2\pi n,\,2\pi -\arccos a+2\pi n)$
$\mathrm {tg} \,x>a$${\mathrm {tg}}\,x>a$	$x\in \left(\mathrm {arctg} \,a+\pi n,\,{\frac {\pi }{2}}+\pi n\right)$$x\in \left({\mathrm {arctg}}\,a+\pi n,\,{\frac {\pi }{2}}+\pi n\right)$
$\mathrm {tg} \,x<a$${\mathrm {tg}}\,x<a$	$x\in \left(-{\frac {\pi }{2}}+\pi n,\,\mathrm {arctg} \,a+\pi n\right)$$x\in \left(-{\frac {\pi }{2}}+\pi n,\,{\mathrm {arctg}}\,a+\pi n\right)$
$\mathrm {ctg} \,x>a$${\mathrm {ctg}}\,x>a$	$x\in (\pi n,\,\mathrm {arcctg} \,a+\pi n)$$x\in (\pi n,\,{\mathrm {arcctg}}\,a+\pi n)$
$\mathrm {ctg} \,x<a$${\mathrm {ctg}}\,x<a$	$x\in (\mathrm {arctg} \,a+\pi n,\,\pi n)$$x\in ({\mathrm {arctg}}\,a+\pi n,\,\pi n)$

Одна корисна нерівність

Для довільного $x$$x$ з інтервалу $[-\pi /2,\pi /2]$$[-\pi /2,\pi /2]$ виконуються такі нерівності:

${\frac {2}{\pi }}|x|\leqslant |\sin(x)|\leqslant |x|.$${\frac {2}{\pi }}|x|\leqslant |\sin(x)|\leqslant |x|.$

Універсальна тригонометрична підстановка

Тотожності мають зміст лише тоді, коли існують обидві частини (тобто при $\alpha \neq \pi +2\pi n$$\alpha \neq \pi +2\pi n$).

• $\operatorname {sin} \alpha ={\frac {2\operatorname {tg} \displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}},\qquad \operatorname {cos} \alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}},\qquad \sec \alpha ={\frac {1+\displaystyle \operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1-\displaystyle \operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}};$$\operatorname {sin}\alpha ={\frac {2\operatorname {tg}\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}{1+\operatorname {tg}^{{2}}\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}},\qquad \operatorname {cos}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg}^{{2}}\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}{1+\operatorname {tg}^{{2}}\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}},\qquad \sec \alpha ={\frac {1+\displaystyle \operatorname {tg}^{{2}}{\frac {\alpha }{2}}}{1-\displaystyle \operatorname {tg}^{{2}}{\frac {\alpha }{2}}}};$

• $\operatorname {tg} \alpha ={\frac {2\operatorname {tg} \displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}},\qquad \operatorname {ctg} \alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}{2\operatorname {tg} \displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}},\qquad \csc \alpha ={\frac {1+\displaystyle \operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{\displaystyle 2\,{\operatorname {tg} }\,{\frac {\alpha }{2}}}}.$$\operatorname {tg}\alpha ={\frac {2\operatorname {tg}\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}{1-\operatorname {tg}^{{2}}\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}},\qquad \operatorname {ctg}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg}^{{2}}\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}{2\operatorname {tg}\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}},\qquad \csc \alpha ={\frac {1+\displaystyle \operatorname {tg}^{{2}}{\frac {\alpha }{2}}}{\displaystyle 2\,{\operatorname {tg}}\,{\frac {\alpha }{2}}}}.$

Допоміжний аргумент (метод Юніса)

$a\sin x\pm b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin \left(x\pm \arcsin {\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right),$$a\sin x\pm b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin \left(x\pm \arcsin {{\frac {b}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}}\right),$

$a\cos x\pm b\sin x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cos \left(x\mp \arccos {\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right),$$a\cos x\pm b\sin x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cos \left(x\mp \arccos {{\frac {a}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}}\right),$

$b+a\mathrm {tg} (x)={\frac {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(x+\mathrm {arctg} (b/a))}{\cos x}},$$b+a{\mathrm {tg}}(x)={\frac {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(x+{\mathrm {arctg}}(b/a))}{\cos x}},$

$a+b\mathrm {ctg} (x)={\frac {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(x+\mathrm {arctg} (b/a))}{\sin x}}.$$a+b{\mathrm {ctg}}(x)={\frac {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(x+{\mathrm {arctg}}(b/a))}{\sin x}}.$

Перші дві формули можуть бути узагальненими

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}\sin(x+\delta _{i})=a\sin(x+\delta ),$$\sum _{{i=1}}^{n}a_{i}\sin(x+\delta _{i})=a\sin(x+\delta ),$

де

$a^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}a_{i}a_{j}\cos(\delta _{i}-\delta _{j}),\qquad \delta =\mathrm {arctg} \,{\frac {\sum _{i=1}^{n}a_{i}\sin \delta _{i}}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}\cos \delta _{i}}}.$$a^{2}=\sum _{{i,j=1}}^{n}a_{i}a_{j}\cos(\delta _{i}-\delta _{j}),\qquad \delta ={\mathrm {arctg}}\,{\frac {\sum _{{i=1}}^{n}a_{i}\sin \delta _{i}}{\sum _{{i=1}}^{n}a_{i}\cos \delta _{i}}}.$

Зв'язок з комплексною екпонентою

$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x),\,\,i^{2}=-1,$$e^{{ix}}=\cos(x)+i\sin(x),\,\,i^{2}=-1,$ — формула Ейлера,

Експоненційне представлення тригонометричних функцій та обернених їм

Функція	Обернена функція
$\sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}\,$$\sin \theta ={\frac {e^{{i\theta }}-e^{{-i\theta }}}{2i}}\,$	$\arcsin x=-i\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,$$\arcsin x=-i\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,$
$\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}\,$$\cos \theta ={\frac {e^{{i\theta }}+e^{{-i\theta }}}{2}}\,$	$\arccos x=i\,\ln \left(x-i\,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,$$\arccos x=i\,\ln \left(x-i\,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,$
$\mathrm {tg} \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}}\,$${\mathrm {tg}}\theta ={\frac {e^{{i\theta }}-e^{{-i\theta }}}{i(e^{{i\theta }}+e^{{-i\theta }})}}\,$	$\mathrm {arctg} x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i+x}{i-x}}\right)\,$${\mathrm {arctg}}x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i+x}{i-x}}\right)\,$
$\csc \theta ={\frac {2i}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}\,$$\csc \theta ={\frac {2i}{e^{{i\theta }}-e^{{-i\theta }}}}\,$	$\operatorname {arccsc} x=-i\ln \left(\displaystyle {\frac {i}{x}}+{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)\,$$\operatorname{arccsc} x=-i\ln \left(\displaystyle {\frac {i}{x}}+{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)\,$
$\sec \theta ={\frac {2}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}\,$$\sec \theta ={\frac {2}{e^{{i\theta }}+e^{{-i\theta }}}}\,$	$\operatorname {arcsec} x=-i\ln \left(\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\sqrt {1-\displaystyle {\frac {i}{x^{2}}}}}\right)\,$$\operatorname{arcsec} x=-i\ln \left(\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\sqrt {1-\displaystyle {\frac {i}{x^{2}}}}}\right)\,$
$\mathrm {ctg} \theta ={\frac {i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}\,$${\mathrm {ctg}}\theta ={\frac {i(e^{{i\theta }}+e^{{-i\theta }})}{e^{{i\theta }}-e^{{-i\theta }}}}\,$	$\mathrm {arcctg} x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {x-i}{x+i}}\right)\,$${\mathrm {arcctg}}x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {x-i}{x+i}}\right)\,$

Числові співвідношення

$\sin ^{2}(18^{\circ })+\sin ^{2}(30^{\circ })=\sin ^{2}(36^{\circ }),\,$$\sin ^{2}(18^{\circ })+\sin ^{2}(30^{\circ })=\sin ^{2}(36^{\circ }),\,$

$\sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{8}},$$\sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}}{8}},$

$\cos 36^{\circ }+\cos 108^{\circ }={\frac {1}{2}},$$\cos 36^{\circ }+\cos 108^{\circ }={\frac 12},$

$\cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2}},$$\cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac 12},$

${\begin{aligned}&\cos \left({\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(2\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)\\[10pt]&{}\qquad {}+\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)={\frac {1}{2}},\end{aligned}}$${\begin{aligned}&\cos \left({\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(2\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)\\[10pt]&{}\qquad {}+\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)={\frac {1}{2}},\end{aligned}}$

$\cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}},$$\cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}},$

$\prod _{k=1}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{2^{n-1}}},$$\prod _{{k=1}}^{{n-1}}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{2^{{n-1}}}},$

$\prod _{k=1}^{n-1}\cos \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {\sin(\pi n/2)}{2^{n-1}}},$$\prod _{{k=1}}^{{n-1}}\cos \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {\sin(\pi n/2)}{2^{{n-1}}}},$

$\prod _{k=1}^{n-1}\mathrm {tg} \,\left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{\sin(\pi n/2)}},$$\prod _{{k=1}}^{{n-1}}{\mathrm {tg}}\,\left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{\sin(\pi n/2)}},$

$\prod _{k=1}^{m}\mathrm {tg} \,\left({\frac {k\pi }{2m+1}}\right)={\sqrt {2m+1}},$$\prod _{{k=1}}^{{m}}{\mathrm {tg}}\,\left({\frac {k\pi }{2m+1}}\right)={\sqrt {2m+1}},$

$\prod _{k=1}^{n}\sin \left({\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}\right)=\prod _{k=1}^{n}\cos \left({\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}\right)={\frac {\sqrt {2}}{2^{n}}},$$\prod _{{k=1}}^{{n}}\sin \left({\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}\right)=\prod _{{k=1}}^{{n}}\cos \left({\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}\right)={\frac {{\sqrt {2}}}{2^{{n}}}},$

${\frac {\pi }{4}}=4\mathrm {arctg} \,{\frac {1}{5}}-\mathrm {arctg} \,{\frac {1}{239}},$${\frac {\pi }{4}}=4{\mathrm {arctg}}\,{\frac {1}{5}}-{\mathrm {arctg}}\,{\frac {1}{239}},$

${\frac {\pi }{4}}=5\mathrm {arctg} \,{\frac {1}{7}}+2\mathrm {arctg} \,{\frac {3}{79}}.$${\frac {\pi }{4}}=5{\mathrm {arctg}}\,{\frac {1}{7}}+2{\mathrm {arctg}}\,{\frac {3}{79}}.$

Різне

$\sin \left({\frac {\pi }{4}}+\alpha \right)=\cos \left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right),$$\sin \left({\frac {\pi }{4}}+\alpha \right)=\cos \left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right),$

$\sin \left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right)=\cos \left({\frac {\pi }{4}}+\alpha \right),$$\sin \left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right)=\cos \left({\frac {\pi }{4}}+\alpha \right),$

$\mathrm {tg} \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)={\frac {\sin \alpha +\sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}=-\,{\frac {\cos \alpha -\cos \beta }{\sin \alpha -\sin \beta }},$${\mathrm {tg}}\left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)={\frac {\sin \alpha +\sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}=-\,{\frac {\cos \alpha -\cos \beta }{\sin \alpha -\sin \beta }},$

$1\pm \mathrm {tg} \alpha ={\frac {{\sqrt {2}}\sin \left(\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\pm \alpha \right)}{\cos \alpha }},$$1\pm {\mathrm {tg}}\alpha ={\frac {{\sqrt {2}}\sin \left(\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\pm \alpha \right)}{\cos \alpha }},$

$1\pm \mathrm {ctg} \alpha ={\frac {{\sqrt {2}}\sin \left(\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\pm \alpha \right)}{\sin \alpha }},$$1\pm {\mathrm {ctg}}\alpha ={\frac {{\sqrt {2}}\sin \left(\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\pm \alpha \right)}{\sin \alpha }},$

$\mathrm {tg} (\alpha )+\sec(\alpha )=\mathrm {tg} \left({\alpha \over 2}+{\pi \over 4}\right).$${\mathrm {tg}}(\alpha )+\sec(\alpha )={\mathrm {tg}}\left({\alpha \over 2}+{\pi \over 4}\right).$

$\mathrm {ctg} (\alpha )+\mathrm {tg} \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=\csc(\alpha ),$${\mathrm {ctg}}(\alpha )+{\mathrm {tg}}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)=\csc(\alpha ),$

$\mathrm {tg} \alpha ={\frac {\sin 2\alpha }{\cos 2\alpha +1}},$${\mathrm {tg}}\alpha ={\frac {\sin 2\alpha }{\cos 2\alpha +1}},$

$\operatorname {tg} 5\alpha =\operatorname {tg} \alpha \cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{5}}+\alpha \right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{5}}-\alpha \right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{5}}+\alpha \right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{5}}-\alpha \right).$$\operatorname {tg}5\alpha =\operatorname {tg}\alpha \cdot \operatorname {tg}\left({\frac {\pi }{5}}+\alpha \right)\cdot \operatorname {tg}\left({\frac {\pi }{5}}-\alpha \right)\cdot \operatorname {tg}\left({\frac {2\pi }{5}}+\alpha \right)\cdot \operatorname {tg}\left({\frac {2\pi }{5}}-\alpha \right).$

$\operatorname {tg} 7\alpha =\operatorname {tg} \alpha \cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{7}}+\alpha \right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{7}}-\alpha \right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{7}}+\alpha \right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{7}}-\alpha \right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {3\pi }{7}}+\alpha \right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {3\pi }{7}}-\alpha \right).$$\operatorname {tg}7\alpha =\operatorname {tg}\alpha \cdot \operatorname {tg}\left({\frac {\pi }{7}}+\alpha \right)\cdot \operatorname {tg}\left({\frac {\pi }{7}}-\alpha \right)\cdot \operatorname {tg}\left({\frac {2\pi }{7}}+\alpha \right)\cdot \operatorname {tg}\left({\frac {2\pi }{7}}-\alpha \right)\cdot \operatorname {tg}\left({\frac {3\pi }{7}}+\alpha \right)\cdot \operatorname {tg}\left({\frac {3\pi }{7}}-\alpha \right).$

$\cos(\alpha )+2\cos(2\alpha )+3\cos(3\alpha )+\cdots =\sum _{k=1}^{n}k\cos(k\alpha )={\frac {\displaystyle n\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\sin \left({\frac {(2n+1)\alpha }{2}}\right)-2\sin ^{2}\left({\frac {n\alpha }{2}}\right)}{\displaystyle 2\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)}}$$\cos(\alpha )+2\cos(2\alpha )+3\cos(3\alpha )+\cdots =\sum _{{k=1}}^{n}k\cos(k\alpha )={\frac {\displaystyle n\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\sin \left({\frac {(2n+1)\alpha }{2}}\right)-2\sin ^{2}\left({\frac {n\alpha }{2}}\right)}{\displaystyle 2\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)}}$

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{2^{k}}}\mathrm {tg} \left({\frac {\alpha }{2^{k}}}\right)={\frac {1}{2^{n}}}\mathrm {ctg} \left({\frac {\alpha }{2^{n}}}\right)-\mathrm {ctg} \alpha$$\sum _{{k=1}}^{n}{\frac {1}{2^{k}}}{\mathrm {tg}}\left({\frac {\alpha }{2^{k}}}\right)={\frac {1}{2^{n}}}{\mathrm {ctg}}\left({\frac {\alpha }{2^{n}}}\right)-{\mathrm {ctg}}\alpha$

$\cos(\alpha )\cos \left({\alpha \over 2}\right)\cdot \cos \left({\alpha \over 4}\right)\cdots =\prod \limits _{n=0}^{\infty }\cos \left({\frac {\alpha }{2^{n}}}\right)={\frac {\sin 2\alpha }{2\alpha }}.$$\cos(\alpha )\cos \left({\alpha \over 2}\right)\cdot \cos \left({\alpha \over 4}\right)\cdots =\prod \limits _{{n=0}}^{{\infty }}\cos \left({\frac {\alpha }{2^{n}}}\right)={\frac {\sin 2\alpha }{2\alpha }}.$

$\cos \left({\alpha \over 2}\right)\cdot \cos \left({\alpha \over 4}\right)\cdot \cos \left({\alpha \over 8}\right)\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\alpha \over 2^{n}}\right)={\sin \alpha \over \alpha }$$\cos \left({\alpha \over 2}\right)\cdot \cos \left({\alpha \over 4}\right)\cdot \cos \left({\alpha \over 8}\right)\cdots =\prod _{{n=1}}^{\infty }\cos \left({\alpha \over 2^{n}}\right)={\sin \alpha \over \alpha }$

$\prod \limits _{k=0}^{n}\cos \left(2^{k}\alpha \right)={\frac {\sin \left(2^{n+1}\alpha \right)}{2^{n+1}\sin \alpha }}.$$\prod \limits _{{k=0}}^{n}\cos \left(2^{k}\alpha \right)={\frac {\sin \left(2^{{n+1}}\alpha \right)}{2^{{n+1}}\sin \alpha }}.$

$\prod \limits _{k=0}^{n}\cos \left({\frac {\alpha }{2^{k}}}\right)={\frac {\sin 2\alpha }{2^{n+1}\sin \left(\displaystyle {\frac {\alpha }{2^{n}}}\right)}}.$$\prod \limits _{{k=0}}^{n}\cos \left({\frac {\alpha }{2^{k}}}\right)={\frac {\sin 2\alpha }{2^{{n+1}}\sin \left(\displaystyle {\frac {\alpha }{2^{n}}}\right)}}.$

$\prod \limits _{k=1}^{n}\cos \left({\frac {\alpha }{2^{k}}}\right)={\frac {\sin \alpha }{2^{n}\sin \left(\displaystyle {\frac {\alpha }{2^{n}}}\right)}}.$$\prod \limits _{{k=1}}^{n}\cos \left({\frac {\alpha }{2^{k}}}\right)={\frac {\sin \alpha }{2^{{n}}\sin \left(\displaystyle {\frac {\alpha }{2^{n}}}\right)}}.$

$|\sin x|={\frac {1}{2}}\prod _{n=0}^{\infty }{\sqrt[{2^{n+1}}]{\left|\mathrm {tg} \,\left(2^{n}x\right)\right|}}.$$|\sin x|={\frac 1{2}}\prod _{{n=0}}^{\infty }{\sqrt[ {2^{{n+1}}}]{\left|{\mathrm {tg}}\,\left(2^{n}x\right)\right|}}.$

Див. також

• Тригонометричні функції
• Таблиця інтегралів тригонометричних функцій
• Обернені тригонометричні функції
• Універсальна тригонометрична підстановка
• Екзотичні тригонометричні функції

Література

• Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. — Москва : Наука, 1979. — 832 с.

• Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — Москва : Физматгиз, 1963. — 1100 с.