Список тригонометричних тотожностей

Тригонометричні тотожності — математичні вирази з тригонометричними функціями, що виконуються для всіх значень аргумента зі спільної області визначення.

Основні позначення

Кути

В цій статті кути позначаються грецькими буквами $\alpha, \beta, \gamma$ і т. д. Величину кута найчастіше задають в градусах або радіанах:

1 повне коло  = 360 градусів = 2$\pi$ радіан  

В наступній таблиці наведено спвівідношення між значеннями в градусах і радіанах для деяких кутів

Градуси	30°	60°	120°	150°	210°	240°	300°	330°
Радіани	$\frac\pi6\!$	$\frac\pi3\!$	$\frac{2\pi}3\!$	$\frac{5\pi}6\!$	$\frac{7\pi}6\!$	$\frac{4\pi}3\!$	$\frac{5\pi}3\!$	$\frac{11\pi}6\!$
Градуси	45°	90°	135°	180°	225°	270°	315°	360°
Радіани	$\frac\pi4\!$	$\frac\pi2\!$	$\frac{3\pi}4\!$	$\pi\!$	$\frac{5\pi}4\!$	$\frac{3\pi}2\!$	$\frac{7\pi}4\!$	$2\pi\!$

Якщо не сказано інакше, то всі кути вважаються заданими у радіанах, а кути, що закінчуються символом (°) — в градусах.

Тригонометричні функції

У статті будуть наведені співвідношення та тотожності для шести основних тригонометричних функцій:

• синус $\sin \alpha,$

• косинус $\cos \alpha,$

• тангенс $\mathrm{tg}\alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos\alpha},\quad \alpha\neq\frac{\pi}{2}+\pi n,\,n\in\mathbb{Z},$

• котангенс $\mathrm{ctg}\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha},\quad \alpha\neq \pi n,\,n\in\mathbb{Z},$

• секанс $\mathrm{sec}\alpha=\frac{1}{\cos\alpha},\quad \alpha\neq \frac{\pi}{2}+\pi n,\,n\in\mathbb{Z},$

• косеканс $\mathrm{csc}\alpha=\frac{1}{\sin\alpha},\quad \alpha\neq \pi n,\,n\in\mathbb{Z},$

В англомовній літературі тангенс та котангенс зазвичай позначають $\tan \alpha$ та $\cot \alpha,$ відповідно.

Обернені тригонометричні функції

Обернені тригонометричніи функції це такі функції композиція яких зі звичайними тригонометричними функціями дає тотожне відображення. Наприклад, функція обернена до синуса, відома як обернений синус (sin⁻¹) чи арксинус (arcsin or asin), задовольняє співвідношення

$\sin(\arcsin x) = x,\quad \quad |x| \leq 1$

та

$\arcsin(\sin x) = x,\quad\quad |x| \leq \frac{\pi}{2}.$

Тригонометричні функції та обернені до них наведені в наступній таблиці:

Функція	sin	cos	tg	ctg	sec	csc
Обернена	arcsin	arccos	arctg	arcctg	arcsec	arccsc

Екзотичні тригонометричні функції

Крім основних шести, також використовуються інші тригонометричні функції кута. Їх використовували раніше при розв'язуванні різних навігаційних задач, однак з розвитком обчислювальної техніки вони втратили свою актуальність.

Назва	Скорочене позн.	Значення
синус-верзус	$\operatorname{versin}(\theta)$ $\operatorname{vers}(\theta)$ $\operatorname{ver}(\theta)$	$1 - \cos (\theta)$
косинус-верзус	$\operatorname{vercosin}(\theta)$	$1 + \cos (\theta)$
коверсинус	$\operatorname{coversin}(\theta)$ $\operatorname{cvs}(\theta)$	$1 - \sin(\theta)$
коверкосинус	$\operatorname{covercosin}(\theta)$	$1 + \sin(\theta)$
гаверсинус	$\operatorname{haversin}(\theta)$	$\frac{1 - \cos (\theta)}{2}$
гаверкосинус	$\operatorname{havercosin}(\theta)$	$\frac{1 + \cos (\theta)}{2}$
когаверсинус	$\operatorname{hacoversin}(\theta)$	$\frac{1 - \sin (\theta)}{2}$
когаверкосинус	$\operatorname{hacovercosin}(\theta)$	$\frac{1 + \sin (\theta)}{2}$
ексеканс	$\operatorname{exsec}(\theta)$	$\sec(\theta) - 1$
екскосеканс	$\operatorname{excsc}(\theta)$	$\csc(\theta) - 1$
хорда	$\operatorname{crd}(\theta)$	$2\sin\frac{\theta}{2}$

Таблиці значень тригонометричних функцій

Значення тригонометричних функцій для найпоширеніших значень кутів (в радіанах)

	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{3\pi}{4}$	$\frac{5\pi}{6}$	$\pi$	$\frac{3\pi}{2}$
$\sin \alpha =$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$-1$
$\cos \alpha =$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- \frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$- \frac{\sqrt{3}}{2}$	$-1$	$0$
$\mathrm{tg} \alpha =$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$\pm\infty$	$- \sqrt{3}$	$- 1$	$- \frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$	$\pm\infty$
$\mathrm{ctg} \alpha =\!$	$\pm\infty$	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-1$	$-\sqrt{3}$	$\pm\infty$	$0$

В тих точках, де значення тангенса та котангенса прямують до нескінченності знак залежить від того з якого боку до цієї точки ми підходимо.

Для тангенса — якщо справа, то $+\infty$, а якщо зліва, то $-\infty$. Для котангенса навпаки.

Значення тригонометричних функцій для деяких кутів

	$\frac{\pi}{16}$	$\frac{\pi}{15}$	$\frac{\pi}{12}$	$\frac{\pi}{10}$	$\frac{\pi}{8}$	$\frac{\pi}{5}$
$\sin \alpha =$	$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}$	$\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{3}(1-\sqrt{5})}{8}$	$\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$	$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$	$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{8}$
$\cos \alpha =$	$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1}{8}$	$\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$	$\frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{8}$	$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$

Основні тригонометричні формули

Основні формули
$~ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$	(1)
$\mathrm{tg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \operatorname{sec}^2 \alpha$	(2)
$\mathrm{ctg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\sin^2 \alpha} = \operatorname{csc}^2 \alpha$	(3)

Формула (1) є наслідком теореми Піфагора (Тригонометрична тотожність Піфагора). Формули (2) і (3) добуваються діленням формули (1) на $\cos^2 \alpha$ та $\sin^2 \alpha$ відповідно.

Співвідношення між основними тригонометричними функціями

Кожна з тригонометричних функцій виражена через п'ять інших.

	$\sin \alpha\!$	$\cos \alpha\!$	$\mathrm{tg} \alpha\!$	$\csc \alpha\!$	$\sec \alpha\!$	$\mathrm{ctg} \alpha\!$
$\sin \alpha =\!$	$\sin \alpha\$	$\pm\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}\!$	$\pm\frac{\mathrm{tg} \alpha}{\sqrt{1 + \mathrm{tg}^2 \alpha}}\!$	$\frac{1}{\csc \alpha}\!$	$\pm\frac{\sqrt{\sec^2 \alpha - 1}}{\sec \alpha}\!$	$\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \mathrm{ctg}^2 \alpha}}\!$
$\cos \alpha =\!$	$\pm\sqrt{1 - \sin^2\alpha}\!$	$\cos \alpha\!$	$\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \mathrm{tg}^2 \alpha}}\!$	$\pm\frac{\sqrt{\csc^2\alpha - 1}}{\csc \alpha}\!$	$\frac{1}{\sec \alpha}\!$	$\pm\frac{\mathrm{ctg} \alpha}{\sqrt{1 + \mathrm{ctg}^2 \alpha}}\!$
$\mathrm{tg} \alpha =\!$	$\pm\frac{\sin \alpha}{\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}}\!$	$\pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}}{\cos \alpha}\!$	$\mathrm{tg} \alpha\!$	$\pm\frac{1}{\sqrt{\csc^2 \alpha - 1}}\!$	$\pm\sqrt{\sec^2 \alpha - 1}\!$	$\frac{1}{\mathrm{ctg} \alpha}\!$
$\csc \alpha=\!$	$\frac{1}{\sin \alpha}\!$	$\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}}\!$	$\pm\frac{\sqrt{1 + \mathrm{tg}^2 \alpha}}{\mathrm{tg} \alpha}\!$	$\csc \alpha\!$	$\pm\frac{\sec\alpha}{\sqrt{\sec^2 \alpha - 1}}\!$	$\pm\sqrt{1 + \mathrm{ctg}^2 \alpha}\!$
$\sec \alpha =\!$	$\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}}\!$	$\frac{1}{\cos\alpha}\!$	$\pm\sqrt{1 + \mathrm{tg}^2 \alpha}\!$	$\pm\frac{\csc \alpha}{\sqrt{\csc^2 \alpha - 1}}\!$	$\sec \alpha\!$	$\pm\frac{\sqrt{1 + \mathrm{ctg}^2\alpha}}{\mathrm{ctg}\alpha}\!$
$\mathrm{ctg} \alpha =\!$	$\pm\frac{\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}}{\sin\alpha}\!$	$\pm\frac{\cos \alpha}{\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}}\!$	$\frac{1}{\mathrm{tg} \alpha}\!$	$\pm\sqrt{\csc^2 \alpha - 1}\!$	$\pm\frac{1}{\sqrt{\sec^2\alpha - 1}}\!$	$\mathrm{ctg} \alpha\!$

Формули зведення

Сукупність формул, що відображають симетрію тригонометричних функцій відносно певних значень кутів, перетоворення при зсуві аргумента на деякий кут, а також періодичність тригонометричних функцій.

Симетрія

Виконуються наступні співвідношення:

Симетрія відносно кута $\alpha=0$	Симетрія відносно $\alpha= \pi/2$ (співвідношення між ко-функціями)	Симетрія відносно $\alpha= \pi$
$\begin{align} \sin(-\alpha) &= -\sin \alpha \\ \cos(-\alpha) &= +\cos \alpha \\ \mathrm{tg}\,(-\alpha) &= -\mathrm{tg} \alpha \\ \csc(-\alpha) &= -\csc \alpha \\ \sec(-\alpha) &= +\sec \alpha \\ \mathrm{ctg}(-\alpha) &= -\mathrm{ctg} \alpha \\ \end{align}$	$\begin{align} \sin(\tfrac{\pi}{2} - \alpha) &= +\cos \alpha \\ \cos(\tfrac{\pi}{2} - \alpha) &= +\sin \alpha \\ \mathrm{tg}(\tfrac{\pi}{2} - \alpha) &= +\mathrm{ctg} \alpha \\ \csc(\tfrac{\pi}{2} - \alpha) &= +\sec \alpha \\ \sec(\tfrac{\pi}{2} - \alpha) &= +\csc \alpha \\ \mathrm{ctg}(\tfrac{\pi}{2} - \alpha) &= +\mathrm{tg} \alpha \\ \end{align}$	$\begin{align} \sin(\pi - \alpha) &= +\sin \alpha \\ \cos(\pi - \alpha) &= -\cos \alpha \\ \mathrm{tg}(\pi - \alpha) &= -\mathrm{tg} \alpha \\ \csc(\pi - \alpha) &= +\csc \alpha \\ \sec(\pi - \alpha) &= -\sec \alpha \\ \mathrm{ctg}(\pi - \alpha) &= -\mathrm{ctg} \alpha \\ \end{align}$

Зсув та періодичність

Співвідношення часто використовуються для спрощення обчислень.

Зсув на π/2	Зсув на π Період tg і ctg	Зсув на 2π Період sin, cos, csc і sec
$\begin{align} \sin(\alpha + \tfrac{\pi}{2}) &= +\cos \alpha \\ \cos(\alpha + \tfrac{\pi}{2}) &= -\sin \alpha \\ \mathrm{tg}(\alpha + \tfrac{\pi}{2}) &= -\mathrm{ctg} \alpha \\ \csc(\alpha + \tfrac{\pi}{2}) &= +\sec \alpha \\ \sec(\alpha + \tfrac{\pi}{2}) &= -\csc \alpha \\ \mathrm{ctg}(\alpha + \tfrac{\pi}{2}) &= -\mathrm{tg} \alpha \end{align}$	$\begin{align} \sin(\alpha + \pi) &= -\sin \alpha \\ \cos(\alpha + \pi) &= -\cos \alpha \\ \mathrm{tg}(\alpha + \pi) &= +\mathrm{tg} \alpha \\ \csc(\alpha + \pi) &= -\csc \alpha \\ \sec(\alpha + \pi) &= -\sec \alpha \\ \mathrm{ctg}(\alpha + \pi) &= +\mathrm{ctg} \alpha \\ \end{align}$	$\begin{align} \sin(\alpha + 2\pi) &= +\sin \alpha \\ \cos(\alpha + 2\pi) &= +\cos \alpha \\ \mathrm{tg}(\alpha + 2\pi) &= +\mathrm{tg} \alpha \\ \csc(\alpha + 2\pi) &= +\csc \alpha \\ \sec(\alpha + 2\pi) &= +\sec \alpha \\ \mathrm{ctg}(\alpha + 2\pi) &= +\mathrm{ctg} \alpha \end{align}$

Формули для суми аргументів

Формули для суми аргументів
$\sin \left( \alpha \pm \beta \right) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$	(5)
$\cos \left( \alpha \pm \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$	(6)
$\mathop{\mathrm{tg}} \left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{ \mathop{\mathrm{tg}} \alpha \pm \mathop{\mathrm{tg}} \beta}{1 \mp \mathop{\mathrm{tg}} \alpha \mathop{\mathrm{tg}}\beta}$	(7)
$\mathrm{ctg} \left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{ \mathop{\mathrm{ctg}} \alpha \mathop{\mathrm{ctg}} \beta \mp 1}{\mathop{\mathrm{ctg}} \alpha \pm \mathop{\mathrm{ctg}}\beta}$

Формула (7) отримується діленням (5) на (6).

Синус і косинус від нескінченної суми

$\sin\left(\sum_{i=1}^\infty \alpha_i\right) =\sum_{ k =0}^\infty (-1)^{k} \sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = 2k+1\end{smallmatrix}} \left(\prod_{i \in A} \sin\alpha_i \prod_{i \not \in A} \cos\alpha_i\right),$

$\cos\left(\sum_{i=1}^\infty \alpha_i\right) =\sum_{ k =0}^\infty ~ (-1)^{k} ~~ \sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = 2k\end{smallmatrix}} \left(\prod_{i \in A} \sin\alpha_i \prod_{i \not \in A} \cos\alpha_i\right).$

У правих частинах рівності сума береться по всіх підмножинах натуральних чисел з 2k+1 чи 2k елементів відповідно.

Тангенси від сум аргументів

Нехай $e_k=e_k(x_1,\ldots,x_n), \, k=0,1,2,\ldots, n=1,2,3\ldots,$ — елементарні симетричні многочлени степеня k від n змінних

$x_i = \mathrm{tg} \,\alpha_i\quad i=1,2,\ldots,n.$

Наприклад:

$e_0 = 1 ,$

$e_1 = \sum_{i=1}^n x_i = \sum_i \mathrm{tg} \alpha_i,$

$e_2 = \sum_{1\leq i < j\leq n} x_i x_j = \sum_{i < j} \mathrm{tg} \alpha_i \mathrm{tg} \alpha_j,$

$e_3 = \sum_{1\leq i < j < k\leq n} x_i x_j x_k = \sum_{i < j < k} \mathrm{tg} \alpha_i \mathrm{tg} \alpha_j \mathrm{tg} \alpha_k.$

Тоді

$\mathrm{tg}\left(\sum_{i=1}^{2k} \alpha_i\right) = \frac{e_1 - e_3 + e_5 -\cdots+(-1)^{k+1}e_{2k-1}}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots+(-1)^ke_{2k}}=\frac{\sum_{i=1}^{k}(-1)^{i+1}e_{2i-1}}{\sum_{i=0}^{k}(-1)^ie_{2i}},\!$

$\mathrm{tg}\left(\sum_{i=1}^{2k+1} \alpha_i\right) = \frac{e_1 - e_3 + e_5 -\cdots+(-1)^{k}e_{2k+1}}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots+(-1)^ke_{2k}}=\frac{\sum_{i=1}^{k}(-1)^{i}e_{2i+1}}{\sum_{i=0}^{k}(-1)^ie_{2i}}.\!$

Наприклад:

$\begin{align} \mathrm{tg}(\alpha_1 + \alpha_2) & = \frac{ e_1 }{ e_0 - e_2 } = \frac{ x_1 + x_2 }{ 1 \ - \ x_1 x_2 } = \frac{ \mathrm{tg}\,\alpha_1 + \mathrm{tg}\,\alpha_2 }{ 1 \ - \ \mathrm{tg}\,\alpha_1 \mathrm{tg}\,\alpha_2 } , \\[8pt] \mathrm{tg}(\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3) & = \frac{ e_1 - e_3 }{ e_0 - e_2 } = \frac{ (x_1 + x_2 + x_3) \ - \ (x_1 x_2 x_3) }{ 1 \ - \ (x_1x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3) }=\frac{ \mathrm{tg}\,\alpha_1 + \mathrm{tg}\,\alpha_2 + \mathrm{tg}\,\alpha_3 - \mathrm{tg}\,\alpha_1 \mathrm{tg}\,\alpha_2 \mathrm{tg}\,\alpha_3 }{ 1 - (\mathrm{tg}\,\alpha_1\,\mathrm{tg}\,\alpha_2 + \mathrm{tg}\,\alpha_1 \,\mathrm{tg}\,\alpha_3 + \mathrm{tg}\,\alpha_2 \mathrm{tg}\,\alpha_3) }, \\[8pt] \mathrm{tg}(\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4) & = \frac{ e_1 - e_3 }{ e_0 - e_2 + e_4 } \\[8pt] & = \frac{ (x_1 + x_2 + x_3 + x_4) \ - \ (x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4) }{ 1 \ - \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4) \ + \ (x_1 x_2 x_3 x_4) } \end{align}$

і так далі.

Секанс і косеканс від суми аргументів

$\begin{align} \sec\left(\sum_i^n \alpha_i\right) & = \frac{\displaystyle\prod_i^n \sec\alpha_i}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots} = \frac{\displaystyle\prod_i^n \sec\alpha_i}{\displaystyle\sum_{0\leq 2k\leq n}(-1)^{k}e_{2k}}\\[8pt] \csc\left(\sum_i^n \alpha_i \right) & = \frac{\displaystyle\prod_i^n \sec\alpha_i }{e_1 - e_3 + e_5 - \cdots}=\frac{\displaystyle\prod_i^n \sec\alpha_i}{\displaystyle\sum_{1\leq 2k+1\leq n}(-1)^{k}e_{2k+1}}\end{align}$

де e_k — елементарні симетричні многочлени степеня k від n змінних (дивись пункт тангенси від сум аргументів)

$x_i = \mathrm{tg} \alpha_i\quad i=1,2,\ldots,n.$

Наприклад,

$\begin{align} \sec(\alpha+\beta+\gamma) & = \frac{\sec\alpha \sec\beta \sec\gamma}{1 - \mathrm{tg}\,\alpha\,\mathrm{tg}\,\beta - \mathrm{tg}\,\alpha\,\mathrm{tg}\,\gamma - \mathrm{tg}\,\beta\,\mathrm{tg}\,\gamma } ,\\[8pt] \csc(\alpha+\beta+\gamma) & = \frac{\sec\alpha \sec\beta \sec\gamma}{\mathrm{tg}\,\alpha + \mathrm{tg}\,\beta + \mathrm{tg}\,\gamma - \mathrm{tg}\,\alpha\,\mathrm{tg}\,\beta\,\mathrm{tg}\gamma}. \end{align}$

Формули подвійного кута

Формули подвійного кута виводяться із формул (5), (6) і (7), якщо прийняти, що кут β рівний α:

Формули подвійного кута
$\mathop{\mathrm{sin}} 2 \alpha = 2 {\sin \alpha}{\cos \alpha}$	(23)
$\mathop{\mathrm{cos}} 2 \alpha = {\cos^2 \alpha} - {\sin^2 \alpha} = 2 {\cos^2 \alpha} - 1 = {1 - 2{\mathrm{sin}}^2 \alpha} = \frac{1 - \mathop{\mathrm{tg}}^2 \alpha}{1 + \mathop{\mathrm{tg}}^2 \alpha}$	(24)
$\mathop{\mathrm{tg}} \,2 \alpha = \frac{2 \mathop{\mathrm{tg}} \alpha}{1 - \mathop{\mathrm{tg}}^2 \alpha} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\, \alpha - \operatorname{tg} \,\alpha}$	(25)
$\mathop{\mathrm{ctg}}\, 2 \alpha = \frac{\mathop{\mathrm{ctg}}^2 \alpha - 1}{2 \mathop{\mathrm{ctg}} \,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\, \alpha - \operatorname{tg}\, \alpha}{2}$

Формули потрійного кута

Формули потрійного кута
$\sin 3\alpha = 3 \sin \alpha - 4 \sin^3\alpha =4\sin\alpha\sin\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)\,$
$\cos 3\alpha = 4 \cos^3\alpha - 3 \cos \alpha =4\cos \alpha\cos \left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)\cos \left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)\,$
$\operatorname{tg} 3\alpha = \frac{3 \operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}^3\alpha}{1 - 3 \operatorname{tg}^2\alpha}=\mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha\,\mathrm{tg} \left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)\mathrm{tg} \left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)$
$\operatorname{ctg} 3\alpha = \frac{3 \operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{ctg}^3\alpha}{1 - 3 \operatorname{ctg}^2\alpha}=\mathrm{ctg} \,\alpha\, \mathrm{ctg}\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right) \mathrm{ctg}\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)$

Формули кратних кутів

Формули кратних кутів
$\sin(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\cos^{n-2k-1}\alpha\,\sin^{2k+1}\alpha$
$\cos(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\cos^{n-2k}\alpha\,\sin^{2k}\alpha$
$\mathrm{tg}(n\alpha)=\frac{\sin(n\alpha)}{\cos(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{tg}^{2k+1}\alpha}}{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{tg}^{2k}\alpha}}$
$\mathrm{ctg}(n\alpha)=\frac{\cos(n\alpha)}{\sin(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{ctg}^{n-2k}\alpha}}{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{ctg}^{n-2k-1}\alpha}}$

де $[n]$ — ціла частина числа $n$, $\binom{n}{k}$ — біноміальний коефіцієнт.

Вивід формул

Формули для кратних кутів виводяться за допомогою формули Муавра

$\left(\cos \alpha+i\sin \alpha\right)^n=\cos\left(n\alpha\right)+i\sin\left(n\alpha\right),\quad i^2=-1.$

Розкриємо праву частину рівності за формулою бінома Ньютона

$\left(\cos \alpha+i\sin \alpha\right)^n = \sum_{q=0}^{n}{n \choose q} (\cos \alpha)^{n-q}(i\sin \alpha)^{q}.$

Врахувавши, що $i^{2k}=(-1)^k,\, i^{2k+1}=(-1)^ki,\, k\in\mathbb{Z}_+,$ та виділивши окремо дійсну та уявну частини, рівність запишемо у вигляді

$\left(\cos \alpha+i\sin \alpha\right)^n = \sum_{k=0}^{[n/2]}{n \choose 2k}(-1)^k(\cos \alpha)^{n-2k}(\sin \alpha)^{2k} +i\left(\sum_{k=0}^{[n/2]}{n \choose 2k+1} (-1)^k(\cos \alpha)^{n-2k-1}(\sin \alpha)^{2k+1}\right).$

Підставимо отриману рівність у формулу Муавра

$\sum_{k=0}^{[n/2]}{n \choose 2k}(-1)^k(\cos \alpha)^{n-2k}(\sin \alpha)^{2k} +i\left(\sum_{k=0}^{[n/2]}{n \choose 2k+1} (-1)^k(\cos \alpha)^{n-2k-1}(\sin \alpha)^{2k+1}\right)=\cos\left(n\alpha\right)+i\sin\left(n\alpha\right).$

Оскільки два комплексні числа рівні тоді і лише тоді коли рівні їхні дійсні та уявні частини, то з останньої рівності отримуємо шукані формули

$\sin(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\cos^{n-2k-1}\alpha\,\sin^{2k+1}\alpha,$

$\cos(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\cos^{n-2k}\alpha\,\sin^{2k}\alpha.$

Ітераційні формули

$\sin (n+1)\alpha=2\sin \alpha\cos n\alpha+\sin(n-1)\alpha,$

$\cos (n+1)\alpha=2\cos \alpha\cos n\alpha+\cos(n-1)\alpha.$

$\mathrm{tg}\,(n{+}1)\alpha = \frac{\mathrm{tg} (n\alpha) + \mathrm{tg} \alpha}{1 - \mathrm{tg}( n\alpha)\,\mathrm{tg} \alpha}.$

$\mathrm{ctg}\,(n{+}1)\alpha = \frac{\mathrm{ctg} (n\alpha)\,\mathrm{ctg} \alpha - 1}{\mathrm{ctg} (n\alpha) + \mathrm{ctg} \alpha}.$

З використанням спеціальних многочленів

Мають місце такі співвідношення:

$\cos n\alpha=T_n(\cos \alpha), \quad \sin^2 n\alpha=\frac{1-T_n(1-2\sin^2 \alpha)}{2},$

де $T_n(x)$ — поліном Чебишова першого роду степеня n.

Представлення у вигляді скінченних добутків

$\sin 2m\alpha=2m\sin\alpha\cos\alpha\prod_{k=1}^{m-1}\left(1-\frac{\sin^2\alpha}{\displaystyle\sin\frac{\pi k}{2m}} \right),\quad \cos 2m\alpha=\prod_{k=1}^{m}\left(1-\frac{\sin^2\alpha}{\displaystyle\sin\frac{\pi (2k-1)}{4m}} \right),\quad m\in\mathbb{N},$

$\sin (2m-1)\alpha=(2m-1)\sin\alpha\prod_{k=1}^{m-1}\left(1-\frac{\sin^2\alpha}{\displaystyle\sin\frac{\pi k}{2m-1}} \right),\quad \cos (2m-1)\alpha=\cos\alpha\prod_{k=1}^{m}\left(1-\frac{\sin^2\alpha}{\displaystyle\sin\frac{\pi (2k-1)}{2(2m-1)}} \right),\quad m\in\mathbb{N},$

$\sin n\alpha=2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1}\sin\left(\alpha+\frac{k\pi}{n}\right),\quad \cos n\alpha=2^{n-1}\prod_{k=1}^{n}\sin\left(\alpha+\frac{(2k-1)\pi}{2n}\right).$

Формули половинного кута

Формули половинного кута
$\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}\,$
$\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}\,$
$\operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}\,$
$\operatorname{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}\,$

Знак перед виразом обирається у відповідності з тим, до якого квадранту належить кут $\frac{\alpha}{2}$.

Формули пониження степеня

Формули пониження степеня виводяться з формул подвійного кута:

Синус	Косинус	Інше
$\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$	$\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$	$\sin^2\alpha \cos^2\alpha = \frac{1 - \cos 4\alpha}{8}$
$\sin^3\alpha = \frac{3 \sin\alpha - \sin 3\alpha}{4}$	$\cos^3\alpha = \frac{3 \cos\alpha + \cos 3\alpha}{4}$	$\sin^3\alpha \cos^3\alpha = \frac{3\sin 2\alpha - \sin 6\alpha}{32}$
$\sin^4\alpha = \frac{3 - 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha}{8}$	$\cos^4\alpha = \frac{3 + 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha}{8}$	$\sin^4\alpha \cos^4\alpha = \frac{3-4\cos 4\alpha + \cos 8\alpha}{128}$
$\sin^5\alpha = \frac{10 \sin\alpha - 5 \sin 3\alpha + \sin 5\alpha}{16}$	$\cos^5\alpha = \frac{10 \cos\alpha + 5 \cos 3\alpha + \cos 5\alpha}{16}$	$\sin^5\alpha \cos^5\alpha = \frac{10\sin 2\alpha - 5\sin 6\alpha + \sin 10\alpha}{512}$

Загальні формули пониження степеня

Загальні формули пониження степеня
$\sin^{2n}\alpha=\frac{1}{2^{2n-1}}\left(\binom{2n}{n}+\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n+k}\binom{2n}{k}\cos2(n-k)\alpha\right)\,$
$\sin^{2n+1}\alpha=\frac{1}{2^{2n-1}}\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n+k}\binom{2n+1}{k}\cos(2(n-k)+1)\alpha$
$\cos^{2n}\alpha=\frac{1}{2^{2n-1}}\left(\binom{2n}{n}+\sum_{k=0}^{n}\binom{2n}{k}\cos2(n-k)\alpha\right)$
$\cos^{2n+1}\alpha=\frac{1}{2^{2n-1}}\sum_{k=0}^{n}\binom{2n+1}{k}\cos(2(n-k)+1)\alpha$

де $\binom{n}{k}$ — біноміальний коефіцієнт.

Формули перетворення добутків функцій

Формули перетворення добутків функцій
$\sin \alpha \sin \beta = \frac{ \cos ( \alpha - \beta) - \cos ( \alpha + \beta)}{2}$	(28)
$\sin \alpha \cos \beta = \frac{ \sin ( \alpha + \beta) + \sin ( \alpha - \beta)}{2}$	(29)
$\cos \alpha \cos \beta = \frac{ \cos ( \alpha + \beta) + \cos ( \alpha - \beta)}{2}$	(30)
$\mathrm{tg} \alpha \, \mathrm{tg} \beta = \frac{ \cos ( \alpha - \beta) - \cos ( \alpha + \beta)}{\cos ( \alpha + \beta) + \cos ( \alpha - \beta)}$
$\cos \alpha \cos \beta \cos\gamma= \frac{ \cos ( \alpha + \beta+\gamma) + \cos ( \alpha - \beta+\gamma)+\cos ( \alpha + \beta-\gamma) + \cos ( \beta+\gamma-\alpha)}{4}$	(31)
$\sin \alpha \cos \beta \cos\gamma= \frac{ \sin ( \alpha + \beta+\gamma) + \sin ( \alpha - \beta+\gamma)+\sin( \alpha + \beta-\gamma) - \sin ( \beta+\gamma-\alpha)}{4}$	(32)
$\,\sin \alpha \sin \beta \cos\gamma= \frac{ -\cos ( \alpha + \beta+\gamma) + \cos ( \alpha - \beta+\gamma)-\cos ( \alpha + \beta-\gamma)- \cos ( \beta+\gamma-\alpha)}{4}$	(33)
$\sin \alpha \sin \beta \sin\gamma= \frac{- \sin ( \alpha + \beta+\gamma) + \sin ( \alpha - \beta+\gamma)+\sin ( \alpha + \beta-\gamma) + \sin ( \beta+\gamma-\alpha)}{4}$	(34)

Формули перетворення суми функцій

Формули перетворення суми функцій
$\sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \frac{ \alpha \pm \beta}{2} \cos \frac{ \alpha \mp \beta}{2}$	(35)
$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{ \alpha + \beta}{2} \cos \frac{ \alpha - \beta}{2}$	(36)
$\cos \alpha - \cos \beta = - 2 \sin \frac{ \alpha + \beta}{2} \sin \frac{ \alpha - \beta}{2}$	(37)
$\mathop{\mathrm{tg}} \alpha \pm \mathop{\mathrm{tg}} \beta = \frac{ \sin ( \alpha \pm \beta)}{ \cos \alpha \cos \beta}$	(38)
$\mathop{\mathrm{ctg}} \alpha \pm \mathop{\mathrm{ctg}} \beta = \frac{ \sin ( \alpha \pm \beta)}{ \sin \alpha \sin \beta}$	(39)
$\mathop{\mathrm{tg}} \alpha \pm \mathop{\mathrm{ctg}} \beta = \frac{ \pm \cos( \alpha \mp \beta)}{ \cos \alpha \sin \beta}$	(40)
$\mathop{\mathrm{tg}} \alpha + \mathop{\mathrm{ctg}} \alpha = \frac{ 1}{ \cos \alpha \sin \alpha} =2\csc 2\alpha$	(41)
$\mathop{\mathrm{tg}} \alpha - \mathop{\mathrm{ctg}} \alpha = -2\mathop{\mathrm{ctg}} 2\alpha$	(42)
$\cos \alpha - \sin \alpha = \sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)$	(43)
$\cos \alpha +\sin \alpha = \sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)$	(43)

Загальні суми

• $\sum_{k=1}^n\cos(2k-1)\alpha = \cos \alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha +\ldots+ \cos (2n-1) \alpha = \frac{\sin 2n\alpha}{2\sin\alpha}, \quad n\geq 1,$

• $\sum_{k=0}^n\sin(2k-1)\alpha = \sin \alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha +\ldots+ \sin (2n-1) \alpha = \frac{\sin^2 n\alpha}{\sin\alpha}, \quad n\geq 1,$

• $\sum_{k=0}^n\cos(\varphi+k\alpha)= \cos \varphi + \cos (\varphi+\alpha) + \cos (\varphi+2\alpha) +\ldots+ \cos (\varphi+n\alpha) = \frac{\displaystyle\cos\left( \varphi+\frac{n\alpha}{2}\right)\sin \frac{(n+1)\alpha}{2}}{\displaystyle \sin \frac{\alpha}{2}}, \quad \alpha\neq 0, n \geq 1,$

• $\sum_{k=0}^n\sin(\varphi+k\alpha)= \sin \varphi +\sin (\varphi+\alpha) + \sin (\varphi+2\alpha) +\ldots+ \sin (\varphi+n\alpha)= \frac{\displaystyle\sin \left( \varphi+\frac{n\alpha}{2}\right)\sin \frac{(n+1)\alpha}{2}}{\displaystyle\sin \frac{\alpha}{2}}, \quad \alpha\neq 0, n\geq 1.$

• $\sum_{k=0}^n\cos^2(k\alpha)= \frac{\displaystyle 3+2n+\csc\alpha\sin(2n+1)\alpha}{4}, \quad \sum_{k=0}^n\sin^2(k\alpha)= \frac{\displaystyle 1+2n-\csc\alpha\sin(2n+1)\alpha}{4}, \quad n \geq 1,$

• $\sum_{k=1}^{n-1}k\cos(k\alpha)= \frac{n\displaystyle\sin \frac{2n-1}{2}\alpha}{2\displaystyle\sin \frac{\alpha}{2}}-\frac{1-\cos n\alpha}{4\displaystyle\sin^2 \frac{\alpha}{2}}, \quad \sum_{k=1}^{n-1}k\sin(k\alpha)= \frac{\sin n\alpha}{4\displaystyle\sin^2 \frac{\alpha}{2}}-\frac{n\displaystyle\cos \frac{2n-1}{2}\alpha}{2\displaystyle\sin \frac{\alpha}{2}}, \quad n \geq 2,$

• $\sum_{k=0}^n p^k\cos(k\alpha)= \frac{1-p\cos\alpha-p^{n+1}\cos(n+1)\alpha-p^{n+2}\cos n\alpha}{1-2p\cos\alpha+p^2}, \quad n \geq 1,$

• $\sum_{k=0}^n p^k\sin(k\alpha)= \frac{p\sin\alpha-p^{n+1}\sin(n+1)\alpha-p^{n+2}\sin n\alpha}{1-2p\cos\alpha+p^2}, \quad n \geq 1.$

Якщо ж $p$ таке, що $|p|<1$, то при $n\rightarrow \infty$ отримуємо

• $\sum_{k=0}^\infty p^k\cos(k\alpha)= \frac{1-p\cos\alpha}{1-2p\cos\alpha+p^2}, \quad \sum_{k=0}^\infty p^k\sin(k\alpha)= \frac{p\sin\alpha}{1-2p\cos\alpha+p^2}.$

Ядро Діріхле та ядро Фейєра

Сума виду

$D_n(x)=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n\cos(kx)=\frac{\sin\left(\left(n +\displaystyle\frac{1}{2}\right)x\right)}{2\sin\left(\displaystyle\frac{x}{2}\right)}.$

називається ядром Діріхле.

А функція

$\Phi_n(x) = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n}D_k(x),$

називається ядром Фейєра

$\Phi_{n}(x) = \frac{1}{2(n+1)} \left(\frac{\sin \displaystyle\frac{n+1}{2}x}{\sin \displaystyle\frac{x}{2}}\right)^2=\frac{1}{2(n+1)} \frac{1 - \cos((n+1)x)}{1 - \cos x}$,

Вони використовуються при сумуванні рядів Фур'є.

Представлення через нескінченні добутки

$\sin x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right), \qquad \cos x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \displaystyle\frac{x^2}{\pi^2\left(n - \displaystyle\frac{1}{2}\right)^2}\right),$

Співвдношення за додаткових обмежень на значення кутів

• Нехай

$\alpha + \beta + \gamma = \pi,$

тоді

$\sin2\alpha + \sin2\beta + \sin2\gamma = 4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma,\,$

$\sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma = 4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2},\,$

$\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma =2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +2 ,\,$

$\cos2\alpha + \cos2\beta + \cos2\gamma = -4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma-1,\,$

$\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2}+1,$

$\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =-2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +1, \,$

$\mathrm{tg}\,\alpha + \mathrm{tg}\,\beta + \mathrm{tg}\,\gamma = \mathrm{tg}\,\alpha\,\mathrm{tg}\,\beta\,\mathrm{tg}\,\gamma,\,$

$\mathrm{tg}\, \frac{\beta }{2}\mathrm{tg}\, \frac{\gamma }{2}+\mathrm{tg}\, \frac{\gamma }{2}\mathrm{tg}\, \frac{\alpha }{2}+\mathrm{tg}\, \frac{\alpha }{2}\mathrm{tg}\, \frac{\beta }{2}=1,$

$\mathrm{ctg}\, \frac{\alpha }{2}+ \mathrm{ctg}\, \frac{\beta }{2}+ \mathrm{ctg}\, \frac{\gamma }{2}= \mathrm{ctg}\, \frac{\alpha }{2} \cdot \mathrm{ctg}\, \frac {\beta }{2} \cdot \mathrm{ctg}\, \frac{\gamma }{2},$

$\mathrm{ctg}\,\alpha\,\mathrm{ctg}\,\beta + \mathrm{ctg}\,\beta\,\mathrm{ctg}\,\gamma + \mathrm{ctg}\,\gamma\,\mathrm{ctg}\,\alpha = 1.\,$

Зауважимо, що наведені вище співвідношення справджуються, якщо $\alpha, \beta, \gamma$ — кути деякого трикутника.

• Нехай

$\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{2},$

тоді

$\mathrm{ctg}(\alpha) + \mathrm{ctg}(\beta) + \mathrm{ctg}(\gamma) = \mathrm{ctg}(\alpha)\,\mathrm{ctg}(\beta)\,\mathrm{ctg}(\gamma).$

• Нехай

$\alpha + \beta + \gamma +\theta = \pi,$

тоді

$\begin{align} \sin(\theta + \alpha)\sin(\alpha + \beta) & = \sin(\alpha + \beta)\sin(\beta + \gamma)\\ & = \sin(\beta + \gamma)\sin(\gamma + \theta) \\ & = \sin(\gamma + \theta)\sin(\theta + \alpha) \\ & = \sin(\theta)\sin(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\gamma). \end{align}$

Обернені тригонометричні функції

$\arcsin(-x)=-\arcsin(x),\quad \arccos(-x)=\pi-\arccos(x),\quad \arcsin(x)+\arccos(x)=\pi/2\;$

$\mathrm{arctg}(-x)=-\mathrm{arctg}(x),\quad \mathrm{arcctg}(-x)=\pi-\mathrm{arcctg}(x), \quad \mathrm{arctg}(x)+\mathrm{arcctg}(x)=\pi/2.\;$

$\mathrm{arctg}(x)+\mathrm{arctg}(1/x)=\left\{\begin{matrix} \pi/2, & x > 0, \\ -\pi/2, & x < 0. \end{matrix}\right.$

Звязок між обрененими тригонометричними функціями для x>0

	$\arccos$	$\arcsin$	$\mathrm{arctg}\,$	$\mathrm{arcctg}\,$
$\arccos x =$	$\arccos x$	$\frac\pi2-\arcsin x$	$\mathrm{arctg}\, \frac {\sqrt{1-x^2}}x$	$\mathrm{arcctg}\,\frac x{\sqrt{1-x^2}}$
$\arcsin x =$	$\frac\pi2-\arccos x$	$\arcsin x$	$\mathrm{arctg} \,\frac x{\sqrt{1-x^2}}$	$\mathrm{arcctg} \,\frac {\sqrt{1-x^2}}x$
$\mathrm{arctg}\, x=$	$\arccos \frac 1{\sqrt{1+x^2}}$	$\arcsin \frac x{\sqrt{1+x^2}}$	$\mathrm{arctg}\, x$	$\mathrm{arcctg}\, \frac 1x$
$\mathrm{arcctg}\, x=$	$\arccos \frac x{\sqrt{1+x^2}}$	$\arcsin \frac1 {\sqrt{1+x^2}}$	$\mathrm{arctg}\,\frac 1x$	$\mathrm{arcctg}\, x$

Поєднання тригонометричних та обернених їм функцій

Поєднання тригонометричних та обернених їм функцій
$\sin[\arccos(x)]=\sqrt{1-x^2} \,$	$\mathrm{tg}[\arcsin (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$
$\sin[\mathrm{arctg}(x)]=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$	$\mathrm{tg}[\arccos (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$
$\cos[\mathrm{arctg}(x)]=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$	$\mathrm{ctg}[\arcsin (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$
$\cos[\arcsin(x)]=\sqrt{1-x^2} \,$	$\mathrm{ctg}[\arccos (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$

Додавання обернених тригонометричних функцій

Нехай $x, y$ такі, що $|x|\leq 1, |y|\leq 1$, тоді

$\arcsin(x)+\arcsin(y)=(-1)^\varepsilon\arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\right)+\varepsilon\pi, \quad \varepsilon=\left\{\begin{matrix} 0, & xy \leq 0, \\ \sgn x, & xy > 0,\end{matrix}\right.$

$\quad$

$\arccos(x)+\arccos(y)=(-1)^\varepsilon\arccos\left(xy-\sqrt{1-y^2}\sqrt{1-x^2}\right)+\varepsilon\pi, \quad \varepsilon=\left\{\begin{matrix} 0, & x+y \geq 0, \\ 1, & x+y < 0,\end{matrix}\right.$

$\quad$

$\mathrm{arctg}(x)+\mathrm{arctg}(y)=\mathrm{arctg}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)+\varepsilon\pi, \quad \varepsilon=\left\{\begin{array}{ll} -1, & xy <1, \\ 0, & xy =1,\\ 1, & xy>1. \end{array}\right.$

Розв'язок найпростіших тригонометричних рівнянь

• $\operatorname{sin} x = a$.

Якщо $|a|>1$ — дійсних розв'язків не існує.

Якщо $|a| \le 1$ — роз'язком є число виду $x=(-1)^n \arcsin a + \pi n; n \in \mathbb Z$.

• $\operatorname{cos} x = a$.

Якщо $|a|>1$ — розв'язків нема.

Якщо $|a| \le 1$ — роз'язком є число виду $x=\pm \arccos a + 2 \pi n; n \in \mathbb Z$.

• $\operatorname{tg} x = a$.

Розв'язком є число виду $x=\operatorname{arctg} a + \pi n; n \in \mathbb Z$.

• $\operatorname{ctg} x = a$.

Розв'язком є число виду $x=\operatorname{arcctg} a + \pi n; n \in \mathbb Z$.

Розв'язок найпростіших тригонометричних нерівностей

Вид нерівності	Множина розв'язків, $n\in\mathbb{Z}$
$\sin x>a \quad (|a|\leqslant 1)$	$x\in (\arcsin a+2\pi n, \, \pi-\arcsin a+2\pi n)$
$\sin x<a \quad (|a|\leqslant 1)$	$x\in (-\pi-\arcsin a+2\pi n, \, \arcsin a+2\pi n)$
$\cos x>a \quad (|a|\leqslant 1)$	$x\in (-\arccos a+2\pi n, \, \arccos a+2\pi n)$
$\cos x<a \quad (|a|\leqslant 1)$	$x\in (\arccos a+2\pi n, \, 2\pi-\arccos a+2\pi n)$
$\mathrm{tg}\, x>a$	$x\in \left(\mathrm{arctg}\,a+\pi n, \, \frac{\pi}{2}+\pi n\right)$
$\mathrm{tg}\, x<a$	$x\in \left(-\frac{\pi}{2}+\pi n, \, \mathrm{arctg}\,a+\pi n\right)$
$\mathrm{ctg}\, x>a$	$x\in (\pi n, \, \mathrm{arcctg}\,a+\pi n)$
$\mathrm{ctg}\, x<a$	$x\in (\mathrm{arctg}\,a+\pi n, \, \pi n)$

Універсальна тригонометрична підстановка

Тотожності мають зміст лише тоді, коли існують обидві частини (тобто при $\alpha\neq \pi +2 \pi n$).

• $\operatorname{sin} \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \displaystyle\frac {\alpha}{2}} {1+\operatorname{tg}^{2} \displaystyle\frac{\alpha}{2} }, \qquad \operatorname{cos} \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^{2} \displaystyle\frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^{2}\displaystyle\frac{\alpha}{2}}, \qquad \sec\alpha = \frac{1 + \displaystyle\operatorname{tg}^{2}\frac{\alpha}{2}}{1 - \displaystyle\operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}};$

• $\operatorname{tg} \alpha = \frac{2 \operatorname{tg}\displaystyle \frac {\alpha}{2}} {1-\operatorname{tg}^{2}\displaystyle \frac{\alpha}{2}}, \qquad \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1-\operatorname{tg}^{2}\displaystyle \frac{\alpha}{2}} {2 \operatorname{tg}\displaystyle \frac {\alpha}{2}},\qquad \csc \alpha = \frac{1 + \displaystyle\operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}} {\displaystyle 2 \,{\operatorname{tg}}\, \frac {\alpha}{2}} .$

Допоміжний аргумент (метод Юніса)

$a \sin x \pm b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin \left(x \pm \arcsin{\frac{b} \sqrt{a^2 + b^2}}\right),$

$a \cos x \pm b \sin x = \sqrt{a^2 + b^2} \cos \left(x \mp \arccos{\frac{a} \sqrt{a^2 + b^2}}\right),$

$b+a\mathrm{tg}(x)=\frac{\sqrt{a^2 + b^2}\sin(x+\mathrm{arctg}(b/a))}{\cos x},$

$a+b\mathrm{ctg}(x)=\frac{\sqrt{a^2 + b^2}\sin(x+\mathrm{arctg}(b/a))}{\sin x}.$

Перші дві формули можуть бути узагальненими

$\sum_{i=1}^n a_i \sin(x+\delta_i)= a \sin(x+\delta),$

де

$a^2=\sum_{i,j=1}^na_i a_j \cos(\delta_i-\delta_j), \qquad \delta=\mathrm{arctg}\,\frac{\sum_{i=1}^n a_i \sin\delta_i}{\sum_{i=1}^n a_i \cos\delta_i}.$

Зв'язок з комплексною екпонентою

$e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x),\,\, i^2=-1,$ — формула Ейлера,

Експоненційне представлення тригонометричних функцій та обернених їм

Функція	Обернена функція
$\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \,$	$\arcsin x = -i \ln \left(ix + \sqrt{1 - x^2}\right) \,$
$\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \,$	$\arccos x = i\,\ln\left(x-i\,\sqrt{1-x^2}\right) \,$
$\mathrm{tg} \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})} \,$	$\mathrm{arctg} x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{i + x}{i - x}\right) \,$
$\csc \theta = \frac{2i}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}} \,$	$\arccsc x = -i \ln \left(\displaystyle\frac{i}{x} + \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}\right) \,$
$\sec \theta = \frac{2}{e^{i\theta} + e^{-i\theta}} \,$	$\arcsec x = -i \ln \left(\displaystyle\frac{1}{x} + \sqrt{1 - \displaystyle\frac{i}{x^2}}\right) \,$
$\mathrm{ctg}\theta = \frac{i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}} \,$	$\mathrm{arcctg} x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{x - i}{x + i}\right) \,$

Числові співвідношення

$\sin^2(18^\circ)+\sin^2(30^\circ)=\sin^2(36^\circ), \,$

$\sin 20^\circ\cdot\sin 40^\circ\cdot\sin 80^\circ=\frac{\sqrt{3}}{8},$

$\cos 36^\circ+\cos 108^\circ=\frac12,$

$\cos 24^\circ+\cos 48^\circ+\cos 96^\circ+\cos 168^\circ=\frac12,$

$\begin{align} & \cos\left( \frac{2\pi}{21}\right) + \cos\left(2\cdot\frac{2\pi}{21}\right) + \cos\left(4\cdot\frac{2\pi}{21}\right) \\[10pt] & {} \qquad {} + \cos\left( 5\cdot\frac{2\pi}{21}\right) + \cos\left( 8\cdot\frac{2\pi}{21}\right) + \cos\left(10\cdot\frac{2\pi}{21}\right)=\frac{1}{2}, \end{align}$

$\cos 20^\circ\cdot\cos 40^\circ\cdot\cos 80^\circ=\frac{1}{8},$

$\prod_{k=1}^{n-1} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{n}{2^{n-1}},$

$\prod_{k=1}^{n-1} \cos\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{\sin(\pi n/2)}{2^{n-1}} ,$

$\prod_{k=1}^{n-1} \mathrm{tg}\,\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{n}{\sin(\pi n/2)},$

$\prod_{k=1}^{m} \mathrm{tg}\,\left(\frac{k\pi}{2m+1}\right) = \sqrt{2m+1},$

$\prod_{k=1}^{n} \sin\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n}\right) = \prod_{k=1}^{n} \cos\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2^{n}},$

$\frac{\pi}{4} = 4 \mathrm{arctg}\,\frac{1}{5} - \mathrm{arctg}\,\frac{1}{239},$

$\frac{\pi}{4} = 5 \mathrm{arctg}\,\frac{1}{7} + 2 \mathrm{arctg}\,\frac{3}{79}.$

Різне

$\sin \left (\frac {\pi}{4}+\alpha \right )=\cos \left (\frac {\pi}{4}-\alpha \right ),$

$\sin \left (\frac {\pi}{4}-\alpha \right )=\cos \left (\frac {\pi}{4}+\alpha \right ),$

$\mathrm{tg}\left( \frac{\alpha+\beta}{2} \right) = \frac{\sin\alpha + \sin\beta}{\cos\alpha + \cos\beta} = -\,\frac{\cos\alpha - \cos\beta}{\sin\alpha - \sin\beta},$

$1\pm \mathrm{tg} \alpha =\frac{\sqrt{2} \sin \left (\displaystyle\frac{\pi}{4}\pm \alpha \right )}{\cos \alpha },$

$1\pm \mathrm{ctg}\alpha =\frac{\sqrt{2} \sin \left (\displaystyle\frac{\pi}{4}\pm \alpha \right )}{\sin \alpha },$

$\mathrm{tg}(\alpha) + \sec(\alpha) = \mathrm{tg}\left({\alpha \over 2} + {\pi \over 4}\right).$

$\mathrm{ctg}(\alpha) + \mathrm{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\csc(\alpha),$

$\mathrm{tg} \alpha =\frac{\sin 2\alpha }{\cos 2\alpha+1},$

$\operatorname{tg} 5\alpha =\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg}\left (\frac{\pi}{5}+\alpha\right )\cdot \operatorname{tg}\left (\frac{\pi}{5}-\alpha\right ) \cdot \operatorname{tg}\left (\frac{2\pi}{5}+\alpha\right )\cdot \operatorname{tg}\left (\frac{2\pi}{5}-\alpha\right ).$

$\operatorname{tg} 7\alpha =\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg}\left (\frac{\pi}{7}+\alpha\right )\cdot \operatorname{tg}\left (\frac{\pi}{7}-\alpha\right ) \cdot \operatorname{tg}\left (\frac{2\pi}{7}+\alpha\right )\cdot \operatorname{tg}\left (\frac{2\pi}{7}-\alpha\right ) \cdot \operatorname{tg}\left (\frac{3\pi}{7}+\alpha\right )\cdot \operatorname{tg}\left (\frac{3\pi}{7}-\alpha\right ).$

$\cos(\alpha)+2\cos(2\alpha)+3\cos(3\alpha)+\cdots=\sum_{k=1}^nk\cos(k\alpha)=\frac{\displaystyle n\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{(2n+1)\alpha}{2}\right)-2\sin^2\left(\frac{n\alpha}{2}\right)}{\displaystyle 2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

$\sum_{k=1}^n\frac{1}{2^k}\mathrm{tg}\left(\frac{\alpha}{2^k}\right)=\frac{1}{2^n}\mathrm{ctg}\left(\frac{\alpha}{2^n}\right)-\mathrm{ctg}\alpha$

$\cos (\alpha)\cos\left({\alpha \over 2}\right) \cdot \cos\left({\alpha \over 4}\right) \cdots=\prod \limits _{n=0}^{\infty} \cos \left (\frac{\alpha}{2^n}\right )=\frac{\sin 2\alpha }{2\alpha}.$

$\cos\left({\alpha \over 2}\right) \cdot \cos\left({\alpha \over 4}\right) \cdot \cos\left({\alpha \over 8}\right)\cdots = \prod_{n=1}^\infty \cos\left({\alpha \over 2^n}\right) = {\sin \alpha \over \alpha}$

$\prod \limits _{k=0}^n \cos \left (2^k \alpha \right )=\frac{\sin \left ( 2^{n+1} \alpha \right )}{2^{n+1} \sin \alpha }.$

$\prod \limits _{k=0}^n \cos \left (\frac{\alpha}{2^k}\right )=\frac{\sin 2\alpha }{2^{n+1} \sin \left (\displaystyle\frac{\alpha}{2^n}\right )}.$

$\prod \limits _{k=1}^n \cos \left (\frac{\alpha}{2^k}\right )=\frac{\sin \alpha }{2^{n} \sin \left (\displaystyle\frac{\alpha}{2^n}\right )}.$

$|\sin x| = \frac1{2}\prod_{n = 0}^\infty \sqrt[2^{n+1}]{\left|\mathrm{tg}\,\left(2^n x\right)\right|}.$

Див. також

• Тригонометричні функції
• Таблиця інтегралів тригонометричних функцій
• Обернені тригонометричні функції
• Універсальна тригонометрична підстановка
• Екзотичні тригонометричні функції

Література

• Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. — Москва: Наука, 1979. — 832 с.

• Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — Москва: Физматгиз, 1963. — 1100 с.