Перейти до вмісту

Список тригонометричних тотожностей

Очікує на перевірку
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Тригонометричні тотожності — математичні вирази з тригонометричними функціями, що виконуються для всіх значень аргумента зі спільної області визначення.

Основні позначення

[ред. | ред. код]

В цій статті кути позначені грецькими буквами і т. д. Величину кута найчастіше задають в градусах або радіанах:

1 повне коло  = 360 градусів = 2 радіан  

В наступній таблиці наведено співвідношення між значеннями в градусах і радіанах для деяких кутів

Градуси 30° 60° 120° 150° 210° 240° 300° 330°
Радіани
Градуси 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360°
Радіани

Якщо не сказано інакше, то всі кути задано у радіанах, а кути, що закінчуються символом (°) — в градусах.

Тригонометричні функції

[ред. | ред. код]

У статті будуть наведені співвідношення та тотожності для шести основних тригонометричних функцій:

  • синус
  • косинус
  • тангенс


  • котангенс


  • секанс


  • косеканс

В англомовній літературі тангенс та котангенс зазвичай позначають та відповідно.

Обернені тригонометричні функції

[ред. | ред. код]

Обернені тригонометричні функції це такі функції, композиція яких зі звичайними тригонометричними функціями дає тотожне відображення. Наприклад, функція обернена до синуса, відома як обернений синус (sin−1) або арксинус (arcsin or asin), задовольняє співвідношення

та

Тригонометричні функції та обернені до них наведені в наступній таблиці:

Функція sin cos tg ctg sec csc
Обернена arcsin arccos arctg arcctg arcsec arccsc

Екзотичні тригонометричні функції

[ред. | ред. код]

Крім основних шести, також використовують інші тригонометричні функції кута. Їх використовували раніше при розв'язуванні різних навігаційних задач, однак з розвитком обчислювальної техніки вони втратили свою актуальність.

Назва Скорочене позн. Значення
синус-верзус

косинус-верзус
коверсинус
коверкосинус
гаверсинус
гаверкосинус
когаверсинус
когаверкосинус
ексеканс
екскосеканс
хорда

Таблиці значень тригонометричних функцій

[ред. | ред. код]
Значення тригонометричних функцій для найпоширеніших значень кутів (в радіанах)

В тих точках, де значення тангенса та котангенса прямують до нескінченності знак залежить від того з якого боку до цієї точки ми підходимо.

Для тангенса — якщо справа, то , а якщо зліва, то . Для котангенса навпаки.

Значення тригонометричних функцій для деяких кутів

Основні тригонометричні формули

[ред. | ред. код]
Основні формули
(1)
(2)
(3)

Формула (1) є наслідком теореми Піфагора (Тригонометрична тотожність Піфагора). Формули (2) і (3) добуваються діленням формули (1) на та відповідно.

Співвідношення між основними тригонометричними функціями

[ред. | ред. код]
Кожна з тригонометричних функцій виражена через п'ять інших.

Формули зведення

[ред. | ред. код]

Сукупність формул, що відображають симетрію тригонометричних функцій відносно певних значень кутів, перетворення при зсуві аргументу на деякий кут, а також періодичність тригонометричних функцій.

Симетрія

[ред. | ред. код]

Виконуються такі співвідношення:

Симетрія відносно кута Симетрія відносно
(співвідношення між ко-функціями)
Симетрія відносно

Зсув та періодичність

[ред. | ред. код]

Співвідношення часто використовують для спрощення обчислень.

Зсув на π/2 Зсув на π
Період tg і ctg
Зсув на 2π
Період sin, cos, csc і sec

Формули для суми аргументів

[ред. | ред. код]
Візуалізація формули (6)
Формули для суми аргументів
(5)
(6)
(7)

Формула (7) отримана діленням (5) на (6).

Синус і косинус від нескінченної суми

[ред. | ред. код]

У правих частинах рівності суму взято по всіх підмножинах натуральних чисел з 2k+1 або 2k елементів відповідно.

Тангенси від сум аргументів

[ред. | ред. код]

Нехай  — елементарні симетричні многочлени степеня k від n змінних

Наприклад:

Тоді

Наприклад:

і так далі.

Секанс і косеканс від суми аргументів

[ред. | ред. код]

де ek — елементарні симетричні многочлени степеня k від n змінних (дивись пункт тангенси від сум аргументів)

Наприклад,

Формули подвійного кута

[ред. | ред. код]

Формули подвійного кута виведені з формул (5), (6) і (7), якщо взяти кут β рівним α:

Формули подвійного кута
(23)
(24)
(25)

Формули потрійного кута

[ред. | ред. код]
Формули потрійного кута

Формули кратних кутів

[ред. | ред. код]
Формули кратних кутів

де  — ціла частина числа ,  — біноміальний коефіцієнт.

Вивід формул

Формули для кратних кутів виводяться за допомогою формули Муавра

Розкриємо праву частину рівності за формулою бінома Ньютона

Врахувавши, що та виділивши окремо дійсну та уявну частини, рівність запишемо у вигляді

Підставимо отриману рівність у формулу Муавра

Оскільки два комплексні числа рівні тоді і лише тоді коли рівні їхні дійсні та уявні частини, то з останньої рівності отримуємо шукані формули

Ітераційні формули

[ред. | ред. код]

З використанням спеціальних многочленів

[ред. | ред. код]

Мають місце такі співвідношення:

де  — поліном Чебишова першого роду степеня n.

Зображення у вигляді скінченних добутків

[ред. | ред. код]



Формули половинного кута

[ред. | ред. код]
Формули половинного кута

Знак перед виразом обрано відповідно до того, до якого квадранту належить кут .

Формули пониження степеня

[ред. | ред. код]

Формули пониження степеня виведені з формул подвійного кута:

Синус Косинус Інше

Загальні формули пониження степеня

[ред. | ред. код]
Загальні формули пониження степеня

де  — біноміальний коефіцієнт.

Формули перетворення добутків функцій

[ред. | ред. код]
Формули перетворення добутків функцій
(28)
(29)
(30)
(31)
(32)
(33)
(34)

Формули перетворення суми функцій

[ред. | ред. код]
Формули перетворення суми функцій
(35)
(36)
(37)
(38)
(39)
(40)
(41)
(42)
(43)
(43)

Загальні суми

[ред. | ред. код]





Якщо ж таке, що , то при отримуємо

Ядро Діріхле та ядро Феєра

[ред. | ред. код]

Сума виду

називається ядром Діріхле.

А функція

називається ядром Феєра

,

Вони використані при сумуванні рядів Фур'є.

Зображення через нескінченні добутки

[ред. | ред. код]

Співвдношення за додаткових обмежень на значення кутів

[ред. | ред. код]
  • Нехай

тоді





Зауважимо, що наведені вище співвідношення справджуються, якщо  — кути деякого трикутника.


  • Нехай

тоді

  • Нехай

тоді

Обернені тригонометричні функції

[ред. | ред. код]
Зв'язок між оберненими тригонометричними функціями для x>0


Поєднання тригонометричних та обернених їм функцій

[ред. | ред. код]
Поєднання тригонометричних та обернених їм функцій

Додавання обернених тригонометричних функцій

[ред. | ред. код]

Нехай такі, що , тоді

Розв'язок найпростіших тригонометричних рівнянь

[ред. | ред. код]
  • .
Якщо  — дійсних розв'язків не існує.
Якщо  — розв'язком є число виду .
  • .
Якщо  — розв'язків нема.
Якщо  — розв'язком є число виду .
  • .
Розв'язком є число виду .
  • .
Розв'язком є число виду .

Розв'язок найпростіших тригонометричних нерівностей

[ред. | ред. код]
Вид нерівності Множина розв'язків,

Одна корисна нерівність

[ред. | ред. код]

Для довільного з інтервалу виконуються такі нерівності:

Універсальна тригонометрична підстановка

[ред. | ред. код]

Тотожності мають зміст лише тоді, коли існують обидві частини (тобто при ).


Допоміжний аргумент (метод Юніса)

[ред. | ред. код]

Перші дві формули можуть бути узагальненими

де

Зв'язок з комплексною експонентою

[ред. | ред. код]
 — формула Ейлера,

Експоненційне зображення тригонометричних функцій та обернених їм

[ред. | ред. код]
Функція Обернена функція

Числові співвідношення

[ред. | ред. код]







Різне

[ред. | ред. код]




Див. також

[ред. | ред. код]

Література

[ред. | ред. код]
  • Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. — Москва : Наука, 1979. — 832 с.
  • Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — Москва : Физматгиз, 1963. — 1100 с.