Спряжений простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Спряжений простір — простір лінійних функціоналів на даному лінійному просторі.

Лінійно-спяжений простір - означення[ред.ред. код]

Простір всіх лінійних функціоналів на E утворює лінійний простір. Це простір називається спряженим до E, він зазвичай позначається E^*.

Властивості[ред.ред. код]

  • У скінченновимірному випадку спряжений простір E^* має ту ж розмірність, що і простір E.
  • Якщо простір E евклідів, тобто на ньому визначено скалярний добуток, то існує канонічний ізоморфізм між E і E^*.
  • Якщо простір E гільбертів, то згідно з теоремою Ріса існує ізоморфізм між E і E^*.
  • У скінченновимірному випадку вірно також, що простір, спряжений до спряженого E^{**}, збігається з E (точніше, існує канонічний ізоморфізм між E і E^{**}).

Позначення[ред.ред. код]

У скінченновимірному випадку звичайно елементи простору E позначають вектором-стовпцем, а елементи E^* — вектором-рядком. У тензорному численні застосовується позначення x^k для елементів E (верхній, або контраваріантний індекс) і x_k для елементів E^* (нижній, або коваріантний індекс).

Варіації і узагальнення[ред.ред. код]

  • У функціональному аналізі, під спряженим простором зазвичай розуміють простір неперервних лінійних функціоналів.
  • Термін спряжений простір може мати інше значення для лінійних просторів над полем комплексних чисел: простір \bar E, що збігається з E як дійсний лінійний простір, але з іншою структурою множення на комплексні числа:
    {\bar c} {\bar x} = \overline{cx}

Джерела[ред.ред. код]