Спряжені числа

Спря́женими числами (також комплексно-спря́женими числами) називаються два комплексні числа, які мають таку саму дійсну частину та протилежні за знаком уявні частини^[1]. Наприклад, спряженими є числа 3 + 4i та 3 − 4i. Число спряжене до числа $z\!$ позначається ${\overline {z}}$ . У загальному випадку, спряженим до числа $z$

z=a+ib,\,

де $a$ та $b$ — дійсні числа, є

{\overline {z}}=a-ib.\,

Наприклад,

{\overline {(3-2i)}}=3+2i

{\overline {7}}=7

{\overline {i}}=-i.

На комплексній площині спряжені числа представлені точками, симетричними відносно дійсної осі. У полярній системі координат спряжені числа мають вигляд $re^{i\phi }$ та $re^{-i\phi }$ , що безпосередньо випливає з формули Ейлера.

Спряженими числами є корені квадратного рівняння з дійсними коефіцієнтами та від'ємним дискримінантом.

Властивості

Для довільних комплексних чисел $z$ та $w$ :

${\overline {(z\pm w)}}={\overline {z}}\pm {\overline {w}}\!\$

${\overline {(zw)}}={\overline {z}}\;{\overline {w}}\!\$

${\overline {z}}=z\Leftrightarrow z$ є дійсним числом

${\overline {z^{n}}}={\overline {z}}^{n}$ для всіх цілих $n$

$\left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|$

${\left|z\right|}^{2}=z{\overline {z}}={\overline {z}}z$

${\overline {\overline {z}}}=z\!\$ , (тобто, спряження є інволюцією)

$z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}}$ , якщо z не дорівнює нулю. За допомогою цієї властивості обчислюють обернене комплексного числа заданого у прямокутних координатах.

Якщо $\phi \,$ є голоморфною функцією, звуження якої на множину дійсних чисел є дійсною функцією, та визначено $\phi (z)\,$ , то

\phi ({\overline {z}})={\overline {\phi (z)}}.\,\!

Зокрема:

$\exp({\overline {z}})={\overline {\exp(z)}}\,\!$
$\log({\overline {z}})={\overline {\log(z)}}\,\!$ , якщо z не дорівнює нулю.
Якщо $p$ — поліном з дійсними коефіцієнтами і $p(z)=0\!\,$ , то також $p({\overline {z}})=0$ . Отже, комплексні (не дійсні) корені таких поліномів завжди утворюють комплексно-спряжені пари.

Визначення координат числа та спряження

Прямокутні та полярні координати комплексного числа можуть бути визначені за допомогою формул:

$x=\operatorname {Re} \,(z)=(z+{\overline {z}})/2$
$y=\operatorname {Im} \,(z)=(z-{\overline {z}})/2i$
$\rho =\left|z\right|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}$
$e^{i\theta }=z/\left|z\right|=e^{i\arg z}={\sqrt {z/{\overline {z}}}}$ (якщо z не дорівнює нулю).