Спряжені числа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Геометричне представлення та його спряженого на комплексній площині

Спряженими числами (також комплексно-спряженими числами) називаються два комплексні числа, які мають таку саму дійсну частину та протилежні за знаком уявні частини[1]. Наприклад, спряженими є числа 3 + 4i та 3 − 4i. Число спряжене до числа позначається . У загальному випадку, спряженим до числа

де та дійсні числа, є

Наприклад,

На комплексній площині спряжені числа представлені точками, симетричними відносно дійсної осі. У полярній системі координат спряжені числа мають вигляд та , що безпосередньо випливає з формули Ейлера.

Спряженими числами є корені квадратного рівняння з дійсними коефіцієнтами та від'ємним дискримінантом.

Властивості[ред.ред. код]

Для довільних комплексних чисел та :

  • є дійсним числом
  • для всіх цілих
  • , (тобто, спряження є інволюцією)
  • , якщо z не дорівнює нулю. За допомогою цієї властивості обчислюють обернене комплексного числа заданого у прямокутних координатах.
  • Якщо є голоморфною функцією, звуження якої на множину дійсних чисел є дійсною функцією, та визначено , то
Зокрема:
  • , якщо z не дорівнює нулю.
  • Якщо поліном з дійсними коефіцієнтами і , то також . Отже, комплексні (не дійсні) корені таких поліномів завжди утворюють комплексно-спряжені пари.

Визначення координат числа та спряження[ред.ред. код]

Прямокутні та полярні координати комплексного числа можуть бути визначені за допомогою формул:

  • (якщо z не дорівнює нулю).

Примітки[ред.ред. код]

  1. Weisstein, Eric W. Complex Conjugates(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.