Стала Каталана

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Стала Каталана (англ. Catalan's constant) — число, що зустрічається в різних застосуваннях математики, зокрема, в комбінаториці. Найчастіше позначається літерою G, рідше — K або C. Може бути визначена як сума нескінченного знакозмінного ряду:

Її числове значення наближено дорівнює[1]:

G = 0.915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 … (послідовність A006752 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

Невідомо, чи є G раціональним, чи ірраціональним числом.

Сталу Каталана названо на честь бельгійського математика Ежена Шарля Каталана[ru].

Зв'язок з іншими функціями[ред. | ред. код]

Стала Каталана є частковим випадком бета-функції Діріхле[ru]:

Вона також відповідає частковому значенню функції Клаузена, пов'язаної з уявною частиною дилогарифму

Крім цього, вона пов'язана зі значеннями тригама-функції[ru] (частковий випадок полігама-функції[ru]) дробових аргументів

так що

Симон Плуфф відшукав нескінченну множину тотожностей між тригама-функцією , і сталою Каталана G.

Сталу Каталана також можна виразити через часткові значення G-функції Барнса[ru] і гамма-функції:

Інтегральні подання[ред. | ред. код]

Нижче наведено деякі інтегральні подання сталої Каталана G через інтеграли від елементарних функцій:

Вона також може бути подана через інтеграл від повного еліптичного інтегралу першого роду K(x),

Швидко збіжні ряди[ред. | ред. код]

Наведені формули містять швидко збіжні ряди, і їх зручно використовувати для чисельних розрахунків:

і

Теоретичне обґрунтування використання рядів такого типу дали Срініваса Рамануджан для першої формули[2] і Девід Бродгерст (David J. Broadhurst) для другої формули[3]. Алгоритми швидкого обчислення сталої Каталана побудувала К. А. Карацуба[4][5].

Ланцюгові дроби[ред. | ред. код]

Ланцюговий дріб сталої Каталана (послідовність A014538 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS) має такий вигляд:

Відомі такі узагальнені ланцюгові дроби для сталої Каталана:

[6]

Обчислення десяткових цифр[ред. | ред. код]

Число відомих значущих цифр сталої Каталана G значно зросло за останні десятиліття, завдяки як збільшенню комп'ютерних потужностей, так і поліпшенню алгоритмів[7].

Число відомих значущих цифр сталої Каталана G
Дата Число значущих цифр Автори обчислення
1865 14 Ежен Шарль Каталан
1877 20 Джеймс Вітбред Лі Глейшер[ru]
1913 32 Джеймс Вітбред Лі Глейшер
1990 0Помилка виразу: незрозумілий розділовий знак «,».Помилка виразу: незрозумілий розділовий знак «,»20,000 Грег Фі (Greg J. Fee)
1996 0Помилка виразу: незрозумілий розділовий знак «,».Помилка виразу: незрозумілий розділовий знак «,»50,000 Грег Фі
1996, 14 серпня 0Помилка виразу: незрозумілий розділовий знак «,».Помилка виразу: незрозумілий розділовий знак «,»100,000 Грег Фі і Симон Плуфф[en]
1996, 29 вересня 0Помилка виразу: незрозумілий розділовий знак «,».Помилка виразу: незрозумілий розділовий знак «,»300,000 Томас Папаніколау (Thomas Papanikolaou)
1996 0Помилка виразу: незрозумілий розділовий знак «,».Помилка виразу: незрозумілий розділовий знак «,»1,500,000 Томас Папаніколау
1997 0Помилка виразу: незрозумілий розділовий знак «,».Помилка виразу: незрозумілий розділовий знак «,»3,379,957 Патрік Демішель (Patrick Demichel)
1998, 4 січня 0Помилка виразу: незрозумілий розділовий знак «,».Помилка виразу: незрозумілий розділовий знак «,»12,500,000 Ксав'єр Гурдон (Xavier Gourdon)
2001 0Помилка виразу: незрозумілий розділовий знак «,».Помилка виразу: незрозумілий розділовий знак «,»100,000,500 Ксав'єр Гурдон і Паскаль Себа (Pascal Sebah)
2002 0Помилка виразу: незрозумілий розділовий знак «,».Помилка виразу: незрозумілий розділовий знак «,»201,000,000 Ксав'єр Гурдон і Паскаль Себа
2006, жовтень 0Помилка виразу: незрозумілий розділовий знак «,».Помилка виразу: незрозумілий розділовий знак «,»5,000,000,000 Шиґеру Кондо (Shigeru Kondo) і Стів Пальяруло (Steve Pagliarulo)
2008, серпень 0Помилка виразу: незрозумілий розділовий знак «,».Помилка виразу: незрозумілий розділовий знак «,»10,000,000,000 Шиґеру Кондо і Стів Пальяруло[8]
2009, 31 січня 0Помилка виразу: незрозумілий розділовий знак «,».Помилка виразу: незрозумілий розділовий знак «,»15,510,000,000 Александер Йї (Alexander J. Yee) і Реймонд Чен (Raymond Chan)[9]
2009, 16 квітня 0Помилка виразу: незрозумілий розділовий знак «,».Помилка виразу: незрозумілий розділовий знак «,»31,026,000,000 Александер Йї і Реймонд Чен

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Catalan's Constant to 1,500,000 Places (HTML). gutenberg.org. Процитовано 2011-02-05. 
  2. B. C. Berndt, Ramanujan's Notebook, Part I, Springer Verlag (1985)
  3. D. J. Broadhurst, «Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5)», (1998) arXiv math.CA/9803067
  4. E. A. Карацуба. Быстрое вычисление трансцендентных функций // Проблемы передачи информации. — 1991. — Т. 27, № 4 (20 лютого). — С. 87—110.
  5. E.A. Karatsuba, Fast computation of some special integrals of mathematical physics. Scientific Computing, Validated Numerics, Interval Methods, W. Krämer, J.W. von Gudenberg, eds.; pp. 29-41 (2001)
  6. Steven R. Finch Mathematical Constants 1.6.6
  7. X. Gourdon, P. Sebah, Constants and Records of Computation
  8. Constants and Records of Computation
  9. Large Computations

Посилання[ред. | ред. код]