Стаціонарна теорія збурень в квантовій механіці

Стаціонарна теорія збурень в квантовій механіці — теорія збурень, де гамільтоніан не залежить від часу. Теорія запропонована Шредінгером в 1926 році. Теорія може бути застосована для досить слабких збурень: $H=H_{0}+\lambda H_{1}$, при цьому параметр $\lambda$ повинен бути настільки маленьким, щоб збурення не дуже спотворювало незбурений спектр $H^{0}$.

Невироджений спектр

В теорії збурень рішення представляється у вигляді розкладання

$|n\rangle =|n^{0}\rangle +\lambda |n^{1}\rangle +\lambda ^{2}|n^{2}\rangle +...,$

$E_{n}=E_{n}^{0}+\lambda E_{n}^{1}+\lambda ^{2}E_{n}^{2}+...$

Звичайно, має бути вірне Рівняння Шредінгера:

$H|n\rangle =E_{n}|n\rangle .$

Підставляючи розкладання в це рівняння, отримаємо

$(H_{0}+\lambda H_{1})(|n^{0}\rangle +\lambda |n^{1}\rangle +\lambda ^{2}|n^{2}\rangle +...)=$

$(E_{n}^{0}+\lambda E_{n}^{1}+\lambda ^{2}E_{n}^{2}+...)(|n^{0}\rangle +\lambda |n^{1}\rangle +\lambda ^{2}|n^{2}\rangle +...)$

Збираючи складові однакового порядку по $\lambda$, отримаємо послідовності рівнянь

$H_{0}|n^{0}\rangle =E_{n}^{0}|n^{0}\rangle ,$

$H_{0}|n^{1}\rangle +H_{1}|n^{0}\rangle =E_{n}^{0}|n^{1}\rangle +E_{n}^{1}|n^{0}\rangle ,$

$H_{0}|n^{2}\rangle +H_{1}|n^{1}\rangle =E_{n}^{0}|n^{2}\rangle +E_{n}^{1}|n^{1}\rangle +E_{n}^{2}|n^{0}\rangle .$

і т. д. Ці рівняння повинні вирішуватися послідовно для отримання $E_{n}^{k}$ и $n^{k}$. Доданок з індексом $k=0$ — це рішення для незбуреного рівняння Шредінгера, тому й говорять також про «наближення нульового порядку». Аналогічно кажуть про «наближення k-го порядку», якщо розраховують рішення до доданків $E_{n}^{k}$ і $n^{k}$.

З другого рівняння отримуємо, що можна визначати однозначно рішення для $n^{1}$ тільки з додатковими умовами, так як кожна лінійна комбінація $n^{1}$ і $n^{0}$ є рішенням. Виникає питання про нормалізацію. Ми можемо припустити, що $\langle n^{0}|n^{0}\rangle =1$, але в той же час з нормування точного рішення слід $\langle n|n\rangle =1$. Тоді в першому порядку (по параметру λ) для умови нормування потрібно покласти $\langle n^{0}|n^{1}\rangle +\langle n^{1}|n^{0}\rangle =0$. Оскільки вибір фази в квантовій механіці довільний, можна без втрати спільності сказати, що число $\langle n^{0}|n\rangle$ дійсне. Тому $\langle n^{0}|n^{1}\rangle =-\langle n^{0}|n^{1}\rangle$, і, як наслідок, накладається додаткова умова що набуде вигляду:

$\langle n^{0}|n^{1}\rangle =0.$

Так як необурений стан $n^{0}$ повинен бути нормований, відразу слід

$\lambda \langle n^{0}|n^{1}\rangle +\lambda ^{2}\langle n^{0}|n^{2}\rangle +\lambda ^{3}\langle n^{0}|n^{3}\rangle +\ldots =0$

і з цього

$\langle n^{0}|n^{k}\rangle =\delta _{0k}.$

Отримуємо поправку в першому порядку

$E_{n}^{1}=\langle n^{0}|H_{1}|n^{0}\rangle ,$

$|n^{1}\rangle =\sum _{m\neq n}{\frac {\langle m^{0}|H_{1}|n^{0}\rangle }{E_{n}^{0}-E_{m}^{0}}}|m^{0}\rangle ,$

і для поправки енергії в другому порядку

$E_{n}^{2}=\sum _{m\neq n}{\frac {|\langle m^{0}|H_{1}|n^{0}\rangle |^{2}}{E_{n}^{0}-E_{m}^{0}}}.$

Джерела

Landau L. D., Lifschitz E. M. Quantum Mechanics: Non-relativistic Theory. — ISBN 0-08-019012-X.