Степеневий ряд

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У математиці степеневим рядом (однієї змінної) називається нескінченний ряд виду:

f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n = a_0 + a_1 (x-c)^1 + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots де an — коефіцієнти n - го доданку, c — деяка константа, а x — змінна визначена в деякій області, що містить c. На практиці часто c рівне нулю і степеневі ряди мають простіший вид:

f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \ldots.

Степеневі ряди широко використовуються у дійсному і комплексному аналізі, як ряди Тейлора функцій, а також в комбінаториці, теорії ймовірностей та ін.

Операції зі степеневими рядами[ред.ред. код]

Додавання і віднімання[ред.ред. код]

Для степеневих рядів f і g навколо точки c, можна визначити їх суму і різницю. Якщо:

f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n
g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n

тоді

f(x)\pm g(x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n \pm b_n) (x-c)^n.

Множення і ділення[ред.ред. код]

Для множення і ділення одержуються формули:

 f(x)g(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)
 = \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty  a_i b_j (x-c)^{i+j}
 = \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x-c)^n.

Послідовність m_n = \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i} називається конволюцією послідовностей a_n і b_n.

Для ділення виконується:

 {f(x)\over g(x)} = {\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\over\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n} = \sum_{n=0}^\infty d_n (x-c)^n
 f(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty d_n (x-c)^n\right)

і значення знаходяться з формул конволюції.

Збіжність степеневих рядів[ред.ред. код]

Степеневий ряд називається збіжним в точці x0, якщо збіжним є відповідний числовий ряд \sum_{n=0}^\infty a_n x_0^n = a_0 + a_1 x_0 + a_2 x_0^2 + a_3 x_0^3 + \ldots.. Степеневий ряд є збіжним в деякій області, якщо він є збіжним в кожній точці цієї області.

Ознаки збіжності[ред.ред. код]

Для степеневих рядів є декілька теорем, що описують умови і характер їх збіжності.

Навпаки, якщо степеневий ряд є розбіжним при {x=x_0}, він є розбіжним при всіх {x}, таких що {|x|>|x_0|}. З першої теореми Абеля також випливає, що існує такий радіус круга {R} (можливо, нульовий або нескінченний), що при {|x|<R} ряд є абсолютно збіжним (і збіжність є рівномірною по x на компактних підмножинах круга {|x|<R}), а при {|x|>R} ряд є розбіжним. Це значення R називається радіусом збіжності ряду, а круг {|x|<R} — кругом збіжності.

  • Формула Коші-Адамара: Значення радіусу збіжності степеневого ряду може бути обчислено за формулою:
 {1\over R} = {\varlimsup\limits_{n\rightarrow +\infty}} \, |a_n|^{1/n}

Нехай F(x) і G(x) — два степеневі ряди з радіусами збіжності {R_F} і {R_G}. Тоді

R_{F+G} \ge \min \{R_F,\, R_G\}
R_{F\cdot G} \ge \min \{R_F, R_G\}
R_{F'}\, = \,R_F

Якщо у ряду G(x) вільний член нульовий, тоді

R_{F\circ G} \ge {R_F \over {R_F+1}}R_G

Питання про збіжність ряду в точках межі {|x|=R} круга збіжності потребує додаткового аналізу:

Ознака Д’Аламбера: Якщо при n>N і \alpha>1 виконано нерівність
\left| {a_n \over a_{n+1}} \right|\ge R \left(1 + {\alpha \over n}\right)
тоді степеневий ряд \Sigma \,a_n x^n є абсолютно збіжним в усіх точках кола {|x|=R} і збіжність є рівномірною по x.
  • Ознака Діріхле: Якщо всі коефіцієнти степеневого ряду \Sigma \,a_n x^n додатні і послідовність a_n монотонно збігається до нуля, тоді цей ряд є збіжним в усіх точках кола {|x|=1}, окрім, можливо, точки {x=1}.
  • Друга теорема Абеля:Нехай степеневий ряд є збіжним в точці {x=x_0}. Тоді він є рівномірно збіжним по {x} на відрізку, що сполучає точки 0 і {x_0}.

Похідна і інтеграл[ред.ред. код]

Якщо деяка функція рівна сумі степеневого ряду в деякій області то її похідну і інтеграл можна визначити почленно продиференціювавши і проінтегрувавши доданки степеневого ряду:


f^\prime (x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n \left( x-c \right)^{n-1}= \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} \left(n+1 \right) \left( x-c \right)^{n}

\int f(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \left( x-c \right)^{n+1}} {n+1} + k = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} \left( x-c \right)^{n}} {n} + k.

Радіуси збіжності обох цих рядів дорівнюють радіусу початкового ряду.

Степеневі ряди багатьох змінних[ред.ред. код]

Степеневий ряд від n змінних — ряд виду:

F(X_1,X_2,\dots,X_n) = \sum\limits_{k_1,k_2,\dots,k_n=0}^{+\infty} a_{k_1,k_2,\dots,k_n}X_1^{k_1}X_2^{k_2} \ldots X_n^{k_n}

або, в мультиіндексних позначеннях

F(X) = \sum\limits_{\alpha}a_{\alpha}X^{\alpha},

де X — це вектор X=(X_1,X_2,\dots,X_n), \alphaмультиіндекс \alpha = (k_1, k_2, \dots k_n), X^{\alpha} — одночлен X^{\alpha} = X_1^{k_1}X_2^{k_2} \ldots X_n^{k_n}.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Грищенко А.О., Нагнибіда М.І., Настасів П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 ст.
  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. — Изд. 6-е, стереотипное. — М.: Наука, 1966
  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969.
  • Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., ISBN 0763714372