Степеневий ряд

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У математиці степеневим рядом (однієї змінної) називається нескінченний ряд виду:

де an — коефіцієнти n - го доданку, c — деяка константа, а x — змінна визначена в деякій області, що містить c. На практиці часто c рівне нулю і степеневі ряди мають простіший вид:

Степеневі ряди широко використовуються у дійсному і комплексному аналізі, як ряди Тейлора функцій, а також в комбінаториці, теорії ймовірностей та ін.

Операції зі степеневими рядами[ред.ред. код]

Додавання і віднімання[ред.ред. код]

Для степеневих рядів f і g навколо точки c, можна визначити їх суму і різницю. Якщо:

тоді

Множення і ділення[ред.ред. код]

Для множення і ділення одержуються формули:

Послідовність називається конволюцією послідовностей і .

Для ділення виконується:

і значення знаходяться з формул конволюції.

Збіжність степеневих рядів[ред.ред. код]

Степеневий ряд називається збіжним в точці x0, якщо збіжним є відповідний числовий ряд . Степеневий ряд є збіжним в деякій області, якщо він є збіжним в кожній точці цієї області.

Ознаки збіжності[ред.ред. код]

Для степеневих рядів є декілька теорем, що описують умови і характер їх збіжності.

  • Перша теорема Абеля: Нехай ряд є збіжним в точці . Тоді цей ряд є абсолютно збіжним в кругу рівномірно по на будь-якій компактній підмножині цього круга.

Навпаки, якщо степеневий ряд є розбіжним при , він є розбіжним при всіх , таких що . З першої теореми Абеля також випливає, що існує такий радіус круга (можливо, нульовий або нескінченний), що при ряд є абсолютно збіжним (і збіжність є рівномірною по на компактних підмножинах круга ), а при ряд є розбіжним. Це значення називається радіусом збіжності ряду, а круг — кругом збіжності.

  • Формула Коші-Адамара: Значення радіусу збіжності степеневого ряду може бути обчислено за формулою:

Нехай і — два степеневі ряди з радіусами збіжності і . Тоді

Якщо у ряду вільний член нульовий, тоді

Питання про збіжність ряду в точках межі круга збіжності потребує додаткового аналізу:

Ознака Д’Аламбера: Якщо при і виконано нерівність
тоді степеневий ряд є абсолютно збіжним в усіх точках кола і збіжність є рівномірною по .
  • Ознака Діріхле: Якщо всі коефіцієнти степеневого ряду додатні і послідовність монотонно збігається до нуля, тоді цей ряд є збіжним в усіх точках кола , окрім, можливо, точки .
  • Друга теорема Абеля:Нехай степеневий ряд є збіжним в точці . Тоді він є рівномірно збіжним по на відрізку, що сполучає точки 0 і .

Похідна і інтеграл[ред.ред. код]

Якщо деяка функція рівна сумі степеневого ряду в деякій області то її похідну і інтеграл можна визначити почленно продиференціювавши і проінтегрувавши доданки степеневого ряду:

Радіуси збіжності обох цих рядів дорівнюють радіусу початкового ряду.

Степеневі ряди багатьох змінних[ред.ред. код]

Степеневий ряд від n змінних — ряд виду:

або, в мультиіндексних позначеннях

де — це вектор , мультиіндекс , — одночлен .

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]