Степінь трансцендентності

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Степінь трансцендентності розширення поля L/K це найбільша потужність підмножини поля L, що є алгебраїчно незалежною щодо поля K.

Розширення L/K є трансцендентним тоді і тільки тоді, коли поле L містить елементи, трансцендентні над K, тобто елементи, що не є коренем ніякого алгебраїчного рівняння з коефіцієнтами з K.

Відповідно розширення є алгебраїчним тоді і тільки тоді коли його степінь трансцендентності рівний нулю.

Якщо X — максимальна множина, всі елементи якої алгебраїчно незалежні, то X називається базисом трансцендентності поля L над K. Усі базиси трансцендентності мають однакову потужність, що рівна степеню трансцендентності розширення.

Для полів M \supset L \supset K степінь трансцендентності M/K рівний сумі степенів трансцендентності L/K та M/L. Якщо всі елементи множини X алгебраїчно незалежні, то розширення до K(X) називається чисто трансцендентним. В цьому випадку поле K(X) ізоморфне полю раціональних функцій від множини змінних X над K.

Приклади[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]