Стиснений стан

Розподіл стисненого стану в фазовому просторі амплітуда-фаза.

Стисненим когерентним станом у квантовій механіці називають стан, у якому гайзербергова невизначеність має найменше значення. Від канонічних когерентних станів стиснені стани відрізняються тим, що невизначеність окремих змінних у парі канонічно-спряжених неоднакова. Тому в фазовому просторі такий стан зображається не колом, а стискається до еліпса, що є підставою для назви .

Для змінних положення та імпульс, наприклад, мінімальна невизначеність досягається тоді, коли

$\Delta x\Delta p={\frac {\hbar }{2}},$

де $\Delta x$ — невизначеність положення, $\Delta p$ — невизначеність імпульсу, а $\hbar$ — зведена стала Планка. У стисненому стані, на відміну від когерентного, $\Delta x\neq \Delta p$, де положення та імпульс виражено в природних осциляторних одиницях.

Математичне визначення

Анімація хвильової функції амплітудно стисненого на 2 дБ когерентного стану з α=3.

Загальна хвильова функція, що задовольняє наведену рівність описується стисненим когерентним станом (систему одиниць обрано так, що $\hbar =1$)

$\psi (x)=C\,\exp \left(-{\frac {(x-x_{0})^{2}}{2w_{0}^{2}}}+ip_{0}x\right)$

де $C,x_{0},w_{0},p_{0}$ — відомі сталі (стала нормування, центр хвильового пакету та математичне сподівання імпульсу). Новою рисою щодо когерентного стану є значення ширини $w_{0}$, що є причиною, чому ці стани називаються стисненими.

Наведений стиснений стан є власним станом лінійного оператора

${\hat {x}}+i{\hat {p}}w_{0}^{2},$

а відповідне власне значення дорівнює $x_{0}+ip_{0}w_{0}^{2}$. У цьому сенсі, стан є узагальненням водночас основного та когерентного станів.

Операторне представлення

Загальна форма стисненого когерентного стану квантового оператора має вигляд

$|\alpha ,\zeta \rangle =D(\alpha )S(\zeta )|0\rangle$

де $|0\rangle$ — вакуумний стан, $D(\alpha )$ — оператор зміщення, а $S(\zeta )$ — оператор стиснення, що задається формулою

$D(\alpha )=\exp(\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}})$  та $S(\zeta )=\exp \left({\frac {1}{2}}\left(\zeta ^{*}{\hat {a}}^{2}-\zeta {\hat {a}}^{\dagger 2}\right)\right)$

де ${\hat {a}}$ та ${\hat {a}}^{\dagger }$ — оператори знищення та народження, відповідно. Для квантового гармонічного осцилятора з кутовою частотою $\omega$, ці оператори задаються як

${\hat {a}}^{\dagger }={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\left(x-{\frac {ip}{m\omega }}\right)$  та ${\hat {a}}={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\left(x+{\frac {ip}{m\omega }}\right)$

Коли$\zeta$ дійсне, невизначеність $x$ та $p$ задається формулами

$(\Delta x)^{2}={\frac {\hbar }{2m\omega }}\mathrm {e} ^{-2\zeta }$  та $(\Delta p)^{2}={\frac {m\hbar \omega }{2}}\mathrm {e} ^{2\zeta }$

Тому стиснені стани насичують принцип невизначеності Гайзенберга $\Delta x\Delta p={\frac {\hbar }{2}}$, однак невизначеність однієї зі квадратурних змінних зменшена, а іншої — збільшена.

Виноски

.