Стохастична матриця

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Стохасти́чна ма́трицяматриця, усі елементи якої є невід'ємними і сума елементів рядків чи стовпців рівна одиниці. Стохастичні матриці широко використовуються в теорії ймовірностей зокрема при вивченні ланцюгів Маркова.

Визначення[ред.ред. код]

  • Матриця називається стохасти́чною справа (або просто стохастичною), якщо
та
  • Матриця називається стохасти́чною злі́ва, якщо
та
  • Матриц називається двічі стохасти́чною, якщо вона стохастична справа і зліва.

Зв'язок з ланцюгами Маркова[ред.ред. код]

Стохастична матриця є матрицею ймовірностей переходів деякого ланцюга Маркова. Так якщо імовірність переходу зі стану i в стан j рівна то наступна матриця буде очевидно стохастичною:

Властивості[ред.ред. код]

  • Якщо та — дві матриці стохастичні зліва (справа, двічі), то і їх добуток теж є стохастичною зліва (справа, двічі) матрицею.

Справді розглянемо стохастичну справа матрицю, для інших доведення аналогічне. Сума елементів i-го рядка матриці рівна:

тобто добуток матриць є стохастичною матрицею.

Скінченна стохастична матриця[ред.ред. код]

Якщо стохастична матриця є скінченною, то згідно з теоремою Перрона-Фробеніуса найбільше за модулем її власне значення рівне одиниці. Якщо деякий власний вектор, що відповідає одиниці тобто:

то всі елементи цього вектора є невід'ємними.

Скінченна стохастична матриця називається регуля́рною, якщо існує таке , що

,

де - елементи -ої степені матриці , тобто .

Якщо - регулярна стохастична матриця, то

,

де — вектор розмірності , усі елементи якого рівні одиниці, а  — визначений раніше власний вектор.

Див. також[ред.ред. код]