Структура Годжа

Структура Годжа ваги $n$, або чиста структура Годжа — об'єкт, що складається з ґратки $H_{\mathbb {Z} }$ у дійсному векторному просторі $H_{\mathbb {R} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes \mathbb {R}$ і розкладання $H_{\mathbb {C} }=\bigoplus _{n}H^{p,\;q}$, де $n=p+q$, комплексного векторного простору $H_{\mathbb {C} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes \mathbb {C}$, що називається розкладанням Годжа. При цьому повинна виконуватися умова ${\bar {H}}^{p,\;q}=H^{q,\;p}$, де ${\bar {H}}^{p,\;q}$ — комплексне спряження в $H_{\mathbb {C} }=H_{\mathbb {R} }\bigotimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$.

Інакше, розкладання Годжа можна описати, використовуючи поняття убиваючої фільтрації, або фільтрації Годжа, $F^{r}=\bigoplus _{p\geqslant r}H^{p,\;q}$ в $H_{\mathbb {C} }$ такої, що ${\bar {F}}^{s}\cap F^{r}=0$ при $r+s\neq n$. Тоді підпростори $H^{p,\;q}$ відновлюються за формулою $H^{p,\;q}={\bar {F}}^{p}\cap F^{q}$.

Цю структуру в просторі $n$-вимірних когомологій $H^{n}(X,\;\mathbb {C} )$ компактного келерового многовиду $X$ уперше дослідив Вільям Годж.

В цьому випадку підпростори $H^{p,\;q}$ описуються як простори гармонічних форм типу $(p,\;q)$ або як когомології $H^{q}(X,\;\Omega ^{p})$ пучків $\Omega ^{p}$ голоморфних диференціальних форм.

Фільтрація Годжа в $H^{n}(X,\;\mathbb {C} )$ виникає з фільтрації комплексу пучків $\Omega =\sum _{p\geqslant 0}\Omega ^{p}$, $n$-вимірні гіперкогомології якого ізоморфні $H^{n}(X,\;\mathbb {C} )$, підкомплексами виду $\sum _{r\geqslant p}\Omega ^{r}$.