Стійкість (динамічні системи)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

В математиці, рішення диференціального рівняння (або, ширше, траєкторія в фазовому просторі точки стану динамічної системи) називається стійким, якщо поведінка рішень з умовами близькими до початкових «не сильно відрізняється» від поведінки вихідного рішення. Слова «не сильно відрізняється» при цьому можна формалізувати по-різному, отримуючи різні формальні визначення стійкості: стійкість по Ляпунову, асимптотичну стійкість і т.д. (див. нижче). Зазвичай розглядається задача про стійкість тривіального рішення в особливій точці, оскільки завдання про стійкість довільної траєкторії зводиться до даної шляхом заміни невідомої функції.

Постановка завдання стійкості динамічних систем[ред. | ред. код]

Нехай — область простору , що містить початок координат, , де . Розглянемо систему (1) виду:

(1)

При будь-яких існує єдине рішення x(t, t0, x0) системи (1), задовольняюче початковим умовам x(t0, t0, x0) = x0. Будемо припускати, що рішення x(t, t0, x0) визначено на інтервалі , причому .

Нехай дані також дві динамічні системи:

(2)

(3)

Кожне рішення системи (2) визначається початковими умовами: початковим моментом та початковою вектор-функцією де за Для виділених систем (2-3) із запізнюванням функції належать простору шматочно-неперервних за функцій із рівномірною нормою де - евклідова норма вектора.

Функціонал заданий й є неперервним у області

де - множина функцій які задовільняють умові Припустимо, у цій області є справедливою оцінка

Відтак система (3) має рішення

Стійкість за Ляпуновим[ред. | ред. код]

Тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається стійким по Ляпунову, якщо для будь-яких  і  існує , залежне тільки від ε и t0 і не залежить від t, таке, що для будь-якого x0, для котрого , рішення x системи з початковими умовами x(t0) = x0 триває на всю піввісь t > t0 і задовольняє нерівності .

.

Нехай задана ще одна система диференціальних рівнянь

(4)

де - n-вимірний вектор, компоненти векторної функції визначені й неперервно диференційовані за усіх та є однорідними функціями порядку Відтак система (4) має рішення

Розгляньмо функцію Ляпунова яка має наступні властивості:

  • неперервно диференційована;
  • додатно визначена;
  • - однорідна функція порядку ;
  • справедлива рівність

Диференціюючи систему (4) в силу системи (3) маємо

де Нехай нульове рішення системи (4) є стійким. Якщо виконується нерівність то нульове рішення системи (3) є асимпотично стійким за будь-якого значення

Рівномірна стійкість по Ляпунову[ред. | ред. код]

Тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається рівномірно стійким по Ляпунову, якщо δ з попереднього визначення залежить тільки від ε:

Нестійкість по Ляпунову[ред. | ред. код]

Тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається нестійким по Ляпунову, якщо:

Асимптотична стійкість[ред. | ред. код]

Тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається асимптотично стійким, якщо воно стійке по Ляпунову і виконується умова для всякого x з початковою умовою x0, лежачим в досить малій околиці нуля.

Еквіасимптотична стійкість[ред. | ред. код]

Тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається еквіасимптотично стійким, якщо воно рівномірно стійке і рівномірно притягуюче.

Рівномірна асимптотична стійкість[ред. | ред. код]

Тривіальне рішення системи (1) називається рівномірно асимптотично стійким, якщо воно стійке і еквіпритягаюче.

Асимптотична стійкість в цілому[ред. | ред. код]

Тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається асимптотично стійким в цілому, якщо воно стійке і глобальнопритягуюче.

Рівномірна асимптотична стійкість в цілому[ред. | ред. код]

Тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається рівномірно асимптотично стійким в цілому, якщо воно рівномірно стійке і рівномірно-глобальнопритягуюче.

Див. також[ред. | ред. код]

  • Теорема Лагранжа про стійкість рівноваги

Література[ред. | ред. код]

  • Беллман Р. {{{Заголовок}}}.
  • Четаев Н. Г. {{{Заголовок}}}.
  • Красовский Н. Н. {{{Заголовок}}}.
  • Малкин И. Г. {{{Заголовок}}}.
  • Демидович Б. П. {{{Заголовок}}}.
  • Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. {{{Заголовок}}}. — ISBN 5-06-004162-X..
  • Филиппов А. Ф. {{{Заголовок}}}.