Сублінійна функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Сублінійною функцією в математиці називається функція над дійсним векторним простором V (більш загально замість поля дійсних чисел можна розглядати довільне впорядковане поле), для якої виконуються такі умови:

  для всіх і всіх x ∈ V (додатна однорідність),
  для всіх xy ∈ V (субадитивність).

Еквівалентні визначення[ред.ред. код]

Еквівалентно у визначенні умову субадитивності можна замінити умовою опуклості, згідно з якою для функції має виконуватися нерівність:

  для всіх xy ∈ V і .

Справді, якщо функція є додатно однорідною і опуклою то:

З сублінійності і додатної однорідності теж, очевидно, випливає опуклість. Зважаючи на це альтернативне визначення такий тип функцій іноді називають однорідно-опуклими. Інша поширена назва функціонал Банаха, зважаючи на появу такого типу функціоналів у твердженні теореми Гана — Банаха.

Інше альтернативне визначення: функція є сублінійною тоді і лише тоді коли виконується умова:

  для всіх xy ∈ V і всіх .

Приклади[ред.ред. код]

  • Кожна лінійна функція є, очевидно, сублінійною. Сублінійною буде також і функція , якщо — лінійна.
  • Довжина вектора в n-вимірному евклідовому просторі є сублінійною функцією. Тут умова субадитивності означає, що довжина суми двох векторів не перевищує суми їх довжин (нерівність трикутника), а додатна однорідність безпосередньо випливає з визначення довжини вектора в

3. Нехай M — простір обмежених послідовностей Функціонал:

є сублінійним.

Властивості[ред.ред. код]

  • Дане твердження одержується підстановкою x = 0 в рівняння додатної однорідності.
  • Ненульова сублінійна функція може бути невід'ємною, але якщо тоді дана функція всюди рівна нулю. Це випливає з нерівності:

згідно з якою, якщо f(x) є від'ємним числом, то f(-x) має бути додатним.

  • Для будь-якого виконується нерівність:

При це випливає з означення додатної однорідності, при - з першої властивості, якщо ж , то з нерівності у попередній властивості отримуємо:

або:

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]