Супергеометрія

Супергеометрія — це диференціальна геометрія модулів над $\mathbb {Z} _{2}$-градуйованими алгебрами, на супермноговидах і градуйованих многовидах. Супергеометрія є невід'ємною частиною багатьох класичних і квантових польових моделей за участю непарних полів, наприклад, суперсиметричних теорії поля, БРСТ теорії, супергравітації.

Супергеометрія формулюється в термінах $\mathbb {Z} _{2}$-градуйованих модулів і пучків над $\mathbb {Z} _{2}$-градуйованими комутативними алгебрами. Зокрема, суперзв'язності означаються як зв'язності на цих модулях і пучках. Однак, супергеометрія не є окремим випадком некомутативної геометрії через різні визначення диференціювання.

Градуйовані многовиди і супермноговиди описуються в термінах пучків градуйованих комутативних алгебр. Градуйовані многовиди характеризуються пучками на гладких многовидах, тоді як супермноговиди визначаються склеюванням пучків супервекторних просторів. Виділяють кілька типів супермноговидів: гладкі супермноговиди (включаючи $H^{\infty }$-, $G^{\infty }$-, $GH^{\infty }$-супермноговиди), $G$-супермноговиди і супермноговиди ДеВітта. Зокрема, супервекторні розшарування і головні суперрозшарування розглядаються в категорії $G$-супермноговидів. При цьому, головні суперрозшарування і суперзв'язності на них визначаються аналогічно гладким головним розшаруванням і зв'язностям на них. Варто відзначити, що головні розшарування розглядаються також в категорії супермноговидів.

Джерела

• Bartocci, C., Bruzzo, U., Hernandez Ruiperez, D., The Geometry of Supermanifolds (Kluwer Academic Publ., 1991) ISBN 0-7923-1440-9
• Rogers, A., «Supermanifolds: Theory and Applications» (World Scientific, 2007) ISBN 981-02-1228-3
• Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., Connections in Classical and Quantum Field Theory (World Scientific, 2000) ISBN 981-02-2013-8