Супремум-норма
Супремум-норма — в математичному аналізі, для дійснозначної чи комплекснозначної обмеженої функцій визначеної на множині , це норма означена як невід'ємне число:
Це найпоширеніша норма для неперервних функцій. Її деколи називають:
- нормою Чебишова для функцій або
- рівномірною нормою, оскільки збіжність за цією нормою еквівалентна рівномірній збіжності.
Якщо — неперервна функція на замкненому й обмеженому проміжку, або, загальніше на компактній множині, то вона обмежена, й супремум у наведеному вище визначенні досягається за другою теоремою Веєрштрасса, тож тоді можливо замінити цей супремум максимумом. У такому випадку цю норму також називають максимум-нормою (англ. maximum norm). Зокрема, якщо — це деякий такий вектор, що у скінченновимірному просторі координат, вона набуває вигляду:
Це називають -нормою .
Про́стір непере́рвних фу́нкцій — лінійний нормований простір, елементами якого є неперервні на відрізку функції (зазвичай позначають , іноді або або ) . Норма в цьому просторі визначається так:
- Якщо послідовність елементів з збігається в цьому просторі до деякої граничної функції , то при .
- Звідси: — банахів простір.
- Простір неперервних функцій сепарабельний: зліченну всюди щільну множину в ньому утворює множина всіх многочленів з раціональними коефіцієнтами. Це твердження виходить як наслідок апроксимаційної теореми Веєрштрасса.
- В не виконується тотожність паралелограма, тому норма в ньому не породжує ніякого скалярний добуток.
Аналогічно цей простір будується також і над областями та їх замиканнями. У разі некомпактної множини максимум треба замінити точною верхньою гранню.
Отже, простором неперервних обмежених функцій (вектор-функцій) називають множину всіх неперервних обмежених функцій зі введеною на ній нормою:
Поряд з чебишовською нормою часто розглядають простір неперервних функцій з інтегральною нормою:
У сенсі цієї норми простір неперервних на відрізку функцій вже не утворює повного лінійного простору. Фундаментальною, але не збіжною в ньому є, наприклад, послідовність
Його поповненням є — простір сумованих функцій.
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)
- Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. Элементы функционального анализа. — М. : Наука, 1965.
- M. Reed, B. Simon. Methods of modern mathematicals physics. Vol.1 Functional Analysis. — New York London : Academic Press, 1973.
- Иосида К.[en]. Функциональный анализ. — М. : Мир, 1967.