Перейти до вмісту

Супремум-норма

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Супремум-норма — в математичному аналізі, для дійснозначної чи комплекснозначної обмеженої функцій визначеної на множині , це норма означена як невід'ємне число:

Це найпоширеніша норма для неперервних функцій. Її деколи називають:

Якщо  — неперервна функція на замкненому й обмеженому проміжку, або, загальніше на компактній множині, то вона обмежена, й супремум у наведеному вище визначенні досягається за другою теоремою Веєрштрасса, тож тоді можливо замінити цей супремум максимумом. У такому випадку цю норму також називають максимум-нормою (англ. maximum norm). Зокрема, якщо  — це деякий такий вектор, що у скінченновимірному просторі координат, вона набуває вигляду:

Це називають -нормою(інші мови).

Пов'язані означення

[ред. | ред. код]

Про́стір непере́рвних фу́нкцій — лінійний нормований простір, елементами якого є неперервні на відрізку функції (зазвичай позначають , іноді або або ) . Норма в цьому просторі визначається так:

Властивості

[ред. | ред. код]

Варіації та узагальнення

[ред. | ред. код]

Аналогічно цей простір будується також і над областями та їх замиканнями. У разі некомпактної множини максимум треба замінити точною верхньою гранню.

Отже, простором неперервних обмежених функцій (вектор-функцій) називають множину всіх неперервних обмежених функцій зі введеною на ній нормою:

Поряд з чебишовською нормою часто розглядають простір неперервних функцій з інтегральною нормою:

У сенсі цієї норми простір неперервних на відрізку функцій вже не утворює повного лінійного простору. Фундаментальною, але не збіжною в ньому є, наприклад, послідовність

Його поповненням є  — простір сумованих функцій.

Література

[ред. | ред. код]