Суттєво особлива точка

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Графік функції exp(1/z), довкола суттєво особливої точки z=0. Колір показує комплексний аргумент, яскравість представляє абсолютну величину. Графік показує, як при наближенні до суттєво особливої точки з різних напрямків отримуємо різну поведінку (на відміну від полюсу, оточеного однорідно білим

Суттєво особливою точкою аналітичної функції називається ізольована особлива точка z_0 комплексної площини, в якій не існує ані кінцевої, ані нескінченної границі при z \to z_0 для функції, однозначної та аналітичної в деякому проколотому околі цієї точки. Приклади: точка z = 0 є суттєво особливою точкою для функцій e^{\frac {1}{z}}, z \sin \frac{1}{z}, \cos \frac{1}{z} + \ln(1+z) тощо. В околі суттєво особливої точки z_0 функція f (z) може бути розкладена в ряд Лорана

f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n + \sum_{n=1}^\infty b_n(z-z_0)^{-n},

причому серед коефіцієнтів головної частини b_1, b_2, b_3, ... нескінченно багато відмінних від нуля. Ця властивість часто використовується для визначення суттєво особливої точки.

Про поведінку функції в околі суттєво особливої точки дозволяє судити теорема Сохоцького — Веєрштрасса. Узагальненням цієї теореми служить велика теорема Пікара: у всякому околі суттєво особливої точки аналітична функція приймає будь-яке комплексне значення, крім, можливо, одного. Остання теорема, у свою чергу, має низку узагальнень і уточнень.

У деяких відділах теорії аналітичних функцій під суттєво особливою точкою розуміють також особливі точки складнішої природи.

Література[ред.ред. код]

  • Маркушевич А. И., Теория. аналитических функций, 2 изд., т. 1-2, М., 1967-68;
  • Неванлинна Р., Однозначные аналитические функции, пер. с нем., М.- Л., 1941.