Суттєво особлива точка

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Графік функції exp(1/z), довкола суттєво особливої точки z=0. Колір показує комплексний аргумент, яскравість представляє абсолютну величину. Графік показує, як при наближенні до суттєво особливої точки з різних напрямків отримуємо різну поведінку (на відміну від полюсу, оточеного однорідно білим

Суттєво особливою точкою аналітичної функції називається ізольована особлива точка комплексної площини, в якій не існує ані кінцевої, ані нескінченної границі при для функції, однозначної та аналітичної в деякому проколотому околі цієї точки. Приклади: точка z = 0 є суттєво особливою точкою для функцій тощо. В околі суттєво особливої точки функція може бути розкладена в ряд Лорана

,

причому серед коефіцієнтів головної частини нескінченно багато відмінних від нуля. Ця властивість часто використовується для визначення суттєво особливої точки.

Про поведінку функції в околі суттєво особливої точки дозволяє судити теорема Сохоцького — Веєрштрасса. Узагальненням цієї теореми служить велика теорема Пікара: у всякому околі суттєво особливої точки аналітична функція приймає будь-яке комплексне значення, крім, можливо, одного. Остання теорема, у свою чергу, має низку узагальнень і уточнень.

У деяких відділах теорії аналітичних функцій під суттєво особливою точкою розуміють також особливі точки складнішої природи.

Література[ред.ред. код]

  • Маркушевич А. И., Теория. аналитических функций, 2 изд., т. 1-2, М., 1967-68;
  • Неванлинна Р., Однозначные аналитические функции, пер. с нем., М.- Л., 1941.