Сфера Рімана

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Сфера Ріманаріманова поверхня, природня структура на розширеній комплексній площині яка є комплексною проективною прямою

Як дійсний многовид дифеоморфна двовимірній сфері

Координати[ред.ред. код]

Числові координати на сфері Рімана вводяться трьома способами:

  • афінна комплексна координата z, яка приймає значення ;
  • проективні комплексні координати ;
  • тривимірні дійсні координати , пов’язані рівнянням:
.
Сфера Рімана стереографічної проекції переводиться на площину

Перехід від одних координат до інших задається формулами:

задає відображення сфери з виколотим полюсом на комплексну площину, яке називається стереографічною проекцією.

Перетворення Мебіуса[ред.ред. код]

Автоморфізмами сфери Рімана є перетворення Мебіуса. Нехай — матриця із . Її дія на сфері Рімана в термінах проективних комплексних координат — просто множення вектора-стовпця координат на матрицю. В афінних координатах дія виглядає так:

Додаток[ред.ред. код]

Сфера Рімана відома в теоретичній фізиці.

Blochsphere.svg

В спеціальній теорії відносності сфера Рімана є моделлю небесної сфери. Перетворення Мебіуса пов'язані з перетвореннями Лоренца. Перетворення Мебіуса і Лоренца зв’язані також зі спінорами. В квантовій механіці сфера Рімана параметризує стани систем, описуваних 2-вимірним простором (див. q-біт), зокрема спіна масивних часток з спіном 1/2, таких як електрон. В цьому контексті сферу Рімана називають сферою Блоха і використовують на ній координати «широта-довгота» майже як на звичайній сфері, тільки широту відраховують від полюса і ділять кут на 2, т. ч. (див. мал.)

В такому випадку вірні співвідношення:

Примітки[ред.ред. код]