Схема (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Схема — в математиці абстрактне поняття, що є дуже широким узагальненням алгебричного многовиду. Схеми в сучасному виді були введені французьким математиком Александром Гротендіком і є ключовим поняттям сучасної алгебричної геометрії.

Аффінні схеми[ред. | ред. код]

Базовим поняттям теорії схем є афінні схеми, що є аналогами афінних многовидів. Довільні схеми склеюються з афінних, подібно до того, як многовиди склеюються з локальних карт. Афінні многовиди вводяться на спектрах кілець з введеною на них топологією і визначеним на цій топології пучком кілець. Більш загально афінними схемами називаються локально окільцьовані простори, що є ізоморфними спектру кільця з введеним структурним пучком.

Спектр кільця[ред. | ред. код]

Нехай  — кільце. Спектром кільця називається множина елементами якої є всі прості ідеали кільця . На цій множині вводиться топологія Зариського в якій замкнутими множинами є множини виду:

де  — усі довільні ідеали кільця (очевидно у визначенні можна замість ідеалів взяти довільні множини елементів кільця).

Відкритими множинами є, відповідно, доповнення замкнутих, тобто множини виду

Базу топології на спектрі утворюють множини що пов'язані з головними ідеалами .

Структурний пучок[ред. | ред. код]

Аффінна схема  — локально окільцьований простір , де  — структурний пучок кілець на відкритих підмножинах спектру. Він вводиться таким чином, щоб будь-яку відкриту підмножину в можна було розглядати як підсхему, при цьому для афінних схем виконується , що означає еквівалентність геометричного і алгебраїчного погляду на кільце.

За визначенням, структурний пучок на елементах бази має вигляд

де  — локалізація кільця по елементу . Цю конструкцію в єдиний спосіб можна продовжити до пучка на .

У явному вигляді

Структурний пучок на спектрі кільця можна також ввести і в інший спосіб. Нехай  — позначає прості ідеали кільця і локалізацію кільця по цих ідеалах. Якщо  — відкрита підмножина в спектрі, то можна визначити як множину функцій:

(символ позначає диз'юнктне об'єднання)
таке що для всіх виконується і s локально є часткою двох елементів кільця A, тобто для всіх існує окіл якому належить і елементи такі що для всіх справедливо і у

На визначеній так множині можна ввести операції додавання і множення після цього дана множина стане комутативним кільцем з одиницею.

Спектр із введеним вище структурним пучком є локально окільцьованим простором.

Афінною схемою називається довільний локально окільцьований простір ізоморфний спектру кільця із структурним пучком.

Схеми[ред. | ред. код]

Схема  — локально окільцьований простір (  — топологічний простір,  — пучок кілець на ньому), що є локально ізоморфним афінній схемі. Більш детально, потрібно, щоб існувало таке покриття топологічного простору афіними схемами , так що обмеження структурного пучка на елементи покриття дає структурні пучки відповідних афінних схем:

Топологічний простір називається базисним топологічним простором схеми , а називається структурним пучком. Морфізм схем  — це морфізм відповідних локально окільцьованих просторів. Ізоморфізм  — морфізм, що має обернений морфізм.

Див. також[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]

  • David Eisenbud; Joe Harris (1998). The Geometry of Schemes. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98637-5. 
  • Robin Hartshorne (1997). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9.