Сюрреальні числа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Сюрреальні числа (англ. surreal number — назва відноситься до американської математики Дональд Кнуту) вперше були використані під іншим ім'ям («числа» — англ. number) в роботах англійського математика Джона Конвея для опису ряду аспектів теорії ігор.

Історія[ред. | ред. код]

В 1907 році австрійський математик Ханс Хан представив «серію Хана»[en] як узагальнення формальних степеневих рядів, а німецький математик Фелікс Гаусдорф ввів деякі впорядковані множини, звані ηα-множинами[en] для ординалів α, і запитав, чи можна знайти сумісну упорядковану групу або структуру поля. В 1962 році Норман Аллінг використовував модифіковану форму рядів Хана для побудови таких упорядкованих полів, пов'язаних з певними ординалами α, а взяття α як класу всіх ординалів в його побудові дає клас, який є впорядкованим полем, ізоморфні сюрреалістичним числам.

Дослідження ендшпіля в грі го привів Конвея до ще одного визначення і побудова сюрреальних чисел. Конструкція Конвея була використана в книзі Дональда Кнута 1974 року «Сюрреальні числа». В своїй книзі, яка приймає форму діалогу, Кнут придумав термін «сюрреальні числа» для того, що Конвей назвав просто числами. Пізніше Конвей прийняв термін Кнута і використовував п'єси для аналізу ігор у своїй книзі «Числа і ігри» 1976 року.

Окрім Конвея і Кнута, велику роль у теорії сюрреальних чисел вніс математик Мартін Девід Крускал. На даний момент сюрреальні числа вже мали всі основні властивості та операції дійсних чисел, і включали в себе всі дійсні числа, поряд з багатьма типами нескінченностей і нескінченно малих величин. Крускал вніс свій вклад в основу теорії, визначення сюрреальних функцій та аналіз їх структур. Він також виявив зв'язок між сюрреальними числами, асимптотикою та експонціональною асимптотикою. Головне питання, підняте Конвеєм, Крускал і Нортон в кінці 1970-х років і з великого завзяття досліджувати Крускал, полягає в тому, чи володіють всіма сюрреальними функціями певні інтеграли. На це питання відповіли негативно Костін, Фрідман і Ерліх в 2015 році. Однак аналіз Костіна і др. показує, що існують певні інтеграли для досить широкої категорії сюрреальних функцій, для яких простежується широке поняття асимптотичного аналізу Крускаля. До своєї смерті в 2006 році Крускал збирався написати книгу про сюрреалістичний аналіз разом з Костіним.

У математиці система сюрреальних чисел є цілком упорядкованим класом, що містить дійсні числа, а також нескінченні та нескінченно малі числа, відповідно, більші або менші за модулем, ніж будь-яке позитивне дійсне число. Сюрреальні числа поділяють багато властивостей з реальними, включаючи звичайні арифметичні операції (додавання, віднімання, множення і ділення); У результаті вони утворюють упорядковане поле. Якщо сформульовано в теорії множин фон Неймана—Бернайса—Геделя[en], сюрреальні числа є найбільшим можливим впорядкованим полем; Всі інші упорядковані поля, такі як раціональні, дійсні, поле раціональних функцій, поле Леві-Чівіта[en], супердійсні числа та гіпердійсні числа, можуть бути реалізовані як підполя сюрреальних чисел. [1] Крім того, було показано (в теорії множин фон Неймана-Бернайса-Геделя), що максимальний клас поля гіпердійсних чисел є ізоморфним максимальному класу поля сюрреальних чисел; в теоріях без аксіоми глобального вибору[en], і в даних теоріях не обов'язково вірно, що сюрреальні числа є найбільшим впорядкованим полем. Сюрреальні числа також містять усі трансфінітні порядкові номери; Арифметика дається природними операціями.