Сімейство множин

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Множина — одне з ключових понять математики, зокрема, теорії множин і логіки.

Сімейство множин[ред.ред. код]

Нехай U- універсальна множина. Якщо кожному натуральному числу n взаємно однозначно порівнювати деяку підмножину An⊆U, то тим самим визначена послідовність множин A1, …, An, … або, в короткому записі, (An) n∈N. Припустимо тепер, що замість безлічі Н натуральних чисел задано довільне безліч І і кожному елементу i∈I взаємно однозначно порівнювати підмножина Ai⊆U. Тоді кажуть, що задано (індексовані) сімейство множин (Ai) i∈I. Безліч J називають безліччю індексів, а безлічі Ai — елементами сімейства (Ai) i∈І.

У разі I∈Н отримуємо послідовність множин, або рахункове сімейство множин; якщо безліч I звичайно, отримуємо кінцеве сімейство множин. Таким чином, сімейство (Ai) i∈І визначено, якщо задано відображення ν: I → 2U

Відзначимо, що будь-яка множина, елементи якого є деякі підмножини універсальної множини U, тобто будь-яка множина A⊆2U, можна вважати сімейством (Ai) i∈I, де I = A, a ν — тотожне відображення множини А на себе.

Двоїстість відкритих і замкнутих множин[ред.ред. код]

Теорема[ред.ред. код]

Для того щоб множина E ⊃Rn була замкнутою, необхідно і достатньо, щоб її доповнення G≡cF було відкритим.

Доведення[ред.ред. код]

Необхідність. Нехай E замкнуто і x — довільна точка з G. Доведемо, що вона буде внутрішньої в G. Оскільки x∉E, то вона не буде граничною точкою для E і знайдеться така її околиця Ux, яка не містить жодної точки з E. Отже, ця околиця повністю міститься в G, так що x — внутрішня точка G.

Достатність[ред.ред. код]

Припустимо тепер, що G — відкрито. Доведемо тоді, що E замкнуто. Для цього достатньо показати, що будь-яка точка x, яка не належить E, що не буде граничною для E. Якщо x∉E, то x∈G, а так як G відкрито, отже знайдеться околиця Ux⊂G. Вона не буде містити точок з E, так що x не є граничною для Е.

Відкриті множини та їх властивості[ред.ред. код]

Безліч всіх точок х-простору Рn, таких, що |x-x0| <ρ, ρ> 0, називається відкритою кулею з центром в точці x0 і радіусом ρ. Ця куля також називається ρ-околицею точки x0 і позначається B(x0, ρ).

Відкриті множини в просторі Rn володіють такими властивостями:

  1. Порожня множина ∅ і весь простір Rn відкриті;
  2. Перетин будь-якого кінцевого числа відкритих множин також відкрито;
  3. Об'єднання сімейства Gα α∈A відкритих множин також відкрито.

Література[ред.ред. код]

  • В. І. Коляда, А. А. Кореновский. Курс лекцій з математичного аналізу — Одеса, «Астропринт», 2009. (с.236)
  • Навчально-методичні ресурси Петрозаводского державного університету, курс матаналізу, частина 4, глава 7 «Функції багатьох змінних».