Січна
Січна́ (англ. secant, transversal) — пряма, яка (локально) перетинає криву щонайменше у двох різних точках[1]. Слово англ. secant походить від латинського слова secare, що означає різати[2]. У випадку кола, січна перетинає коло рівно у двох точках. Хорда — відрізок січної, визначений цими двома точками, тобто частина січної, кінцями якої є ці дві точки[3].
Пряма може перетинати коло в одній, двох точках або не перетинати його взагалі. Пряма, що має перетини у двох точках, називається січною, в одній точці — дотичною, а та, що не має точок перетину — зовнішньою прямою. Хорда — це відрізок прямої, що з'єднує дві різні точки кола. Таким чином, кожна хорда лежить на єдиній січній прямій, а кожна січна пряма визначає єдину хорду.
У строгих сучасних викладах планіметрії результати, які здаються очевидними і які Евклід у своєму викладі приймав без доведення, зазвичай доводяться.
Наприклад, теорема (елементарна неперервність кола)[4]: якщо — коло, а — пряма, що містить точку A, яка лежить усередині , і точку B, яка лежить поза , то є січною прямою для .
У деяких випадках формулювання тверджень через січні прямі, а не через хорди, допомагає уніфікувати виклад. Як приклад розглянемо такий результат[5]:
- Якщо дві січні прямі містять хорди AB і CD кола та перетинаються в точці P, що не лежить на колі, то довжини відрізків задовольняють співвідношення AP⋅PB = CP⋅PD.
Якщо точка P лежить усередині кола, це твердження відповідає твердженню III.35 у «Началах» Евкліда, але якщо точка лежить поза колом, то цей результат у «Началах» не міститься. Проте Роберт Сімсон слідом за Христофором Клавієм, довів його у своїх коментарях до Евкліда. Це твердження іноді називають теоремою про перетинні січні[en][6].
Для кривих, складніших за звичайні кола, виникає можливість того, що пряма перетинатиме криву більш ніж у двох різних точках. Деякі автори визначають січну до кривої як пряму, що перетинає криву у двох різних точках. Таке визначення залишає можливість того, що пряма може мати й інші точки перетину з цією кривою. За такого формулювання визначення січної для кіл та кривих є ідентичними, а можливість наявності додаткових точок перетину для кола просто не виникає.
Січні можуть бути використані для наближення дотичної прямої до кривої в певній точці P (якщо вона існує). Визначимо січну до кривої через дві точки, P та Q, де P є нерухомою, а Q — змінною. Якщо точка Q наближається до точки P вздовж кривої, і при цьому кутовий коефіцієнт січної наближається до граничного значення, то ця границя визначає кутовий коефіцієнт дотичної в точці P[1]. Прямі січних PQ є наближеннями дотичної прямої. У математичному аналізі ця ідея є геометричним визначенням похідної.
Дотична до кривої в точці P може бути січною для цієї самої кривої, якщо вона перетинає її принаймні ще в одній точці, окрім P. Інший погляд на це полягає в усвідомленні того, що статус дотичної в точці P є локальною властивістю, яка залежить лише від вигляду кривої в безпосередній близькості до P, тоді як статус січної є глобальною властивістю, оскільки для її визначення потрібно розглянути всю область визначення функції, що утворює криву.
Поняття січної прямої можна застосовувати в більш загальному контексті, ніж евклідовий простір. Нехай K — скінченна множина з k точок у деякому геометричному середовищі. Пряму називають n-січною множини K якщо вона містить рівно n точок із K[7]. Наприклад, якщо K — це множина з 50 точок, розміщених на колі в евклідовій площині, то пряма, що сполучає дві з них, буде 2-січною (або бісічною), а пряма, що проходить лише через одну з них, — 1-січною (або унісічною). У цьому прикладі унісічна не обов'язково є дотичною до кола.
Ця термінологія часто використовується в геометрії інцидентності та комбінаторній геометрії. Наприклад, теорема Сильвестра — Галлаї з геометрії інцидентності стверджує, що якщо n точок евклідової геометрії не лежать на одній прямій, то серед них обов'язково існує 2-січна. А класична задача дискретної геометрії про насадження саду[en] ставить питання про оцінку кількості 3-січних для скінченної множини точок.
Скінченність множини точок не є істотною для цього означення, за умови, що кожна пряма може перетинати множину лише в скінченній кількості точок.
- Еліптична крива — крива, для якої кожна січна має третю точку перетину; на основі цієї властивості можна визначити більшу частину групового закону
- Квадрисічна[en] — пряма, що перетинає криву (зазвичай просторову криву) у чотирьох точках
- Многовид січних[en] — об'єднання січних та дотичних прямих до заданого проєктивного многовиду
- Січна площина — тривимірний еквівалент січної прямої
- Теорема про середнє значення — теорема, що стверджує: для кожної січної графіка гладкої функції існує паралельна їй дотична пряма
- Теорема про січні
- Хорда — відрізок, що з'єднує дві точки кола
- 1 2 Protter, Murray H.; Protter, Philip E. (1988), Calculus with Analytic Geometry (англ.), p. 62: Jones & Bartlett Learning, ISBN 9780867200935
{{citation}}: Обслуговування CS1: Сторінки з неправильним використанням параметра location (посилання). - ↑ Redgrove, Herbert Stanley (1913), Experimental Mensuration: An Elementary Test-book of Inductive Geometry (англ.), p. 167: Van Nostrand
{{citation}}: Обслуговування CS1: Сторінки з неправильним використанням параметра location (посилання). - ↑ Gullberg, Jan (1997), Mathematics: From the Birth of Numbers (англ.), p. 387: W. W. Norton & Company, ISBN 9780393040029
{{citation}}: Обслуговування CS1: Сторінки з неправильним використанням параметра location (посилання). - ↑ Venema, Gerard A. (2006), Foundations of Geometry (англ.), p. 229: Pearson/Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-143700-5
{{citation}}: Обслуговування CS1: Сторінки з неправильним використанням параметра location (посилання) - ↑ Jacobs, Harold R. (1974), Geometry (англ.), p. 482: W. H. Freeman & Co., ISBN 0-7167-0456-0
{{citation}}: Обслуговування CS1: Сторінки з неправильним використанням параметра location (посилання) - ↑ Heath, Thomas L. (1956), The thirteen books of Euclid's Elements (Vol. 2) (англ.), p. 73: Dover
{{citation}}: Обслуговування CS1: Сторінки з неправильним використанням параметра location (посилання) - ↑ Hirschfeld, J. W. P. (1979), Projective Geometries over Finite Fields, Oxford University Press, с. 70, ISBN 0-19-853526-0
- Січна // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Теза, 2006.
- Задачі про січну та дотичну
- Weisstein, Eric W. Secant line(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.