Твердження Едсгара Дейкстра

Тве́рдження Едсгара Дейкстри є одним із доведень теореми Піфагора.

Твердження Е. Дейкстра

Якщо в трикутнику кути $\alpha ,\beta ,\gamma$ лежать навпроти сторін довжиною a, b, c, відповідно, тоді $\operatorname {sgn}(\alpha +\beta -\gamma )=\operatorname {sgn}(a^{2}+b^{2}-c^{2}),$ де $\operatorname {sgn} \,x$ — signum-функція.

Доведення

Розглянемо довільний трикутник ABC.

Дейкстра побудував дві додаткові лінії CH і CK так що $\angle BCK=\angle CAB$ і $\angle ACH=\angle CBA$, що робить трикутники ABC, ACH і BCK подібними і кути AHC і BKC рівними.

Ми маємо випадок $\alpha +\beta <\gamma$, в якому трикутники CKB і AHC, непересічні області і не охоплюють весь $\triangle ACB$; позначаючи площі $\triangle XYZ$ як "XYZ" отримаємо наступний випадок

$CKB+AHC<ACB.$

У випадку $\alpha +\beta =\gamma$, H і K збігаються і ми маємо

$CKB+AHC=ACB$

і у випадку $\alpha +\beta >\gamma$, де два трикутники перетинаються, маємо

$CKB+AHC>ACB.$

Підсумувавши, отримаємо

$\operatorname {sgn}(\alpha +\beta -\gamma )=\operatorname {sgn}(CKB+AHC-ACB).$

Три площі цих подібних трикутників мають співвідношення як квадрати відповідних сторін, зокрема

${\frac {CKB}{a^{2}}}={\frac {AHC}{b^{2}}}={\frac {ACB}{c^{2}}}=k>0,\;k>0.$

Звідси,

$\operatorname {sgn}(\alpha +\beta -\gamma )=\operatorname {sgn}(a^{2}+b^{2}-c^{2}).$

Отже, ми довели теорему

$\operatorname {sgn}(\alpha +\beta -\gamma )=\operatorname {sgn}(a^{2}+b^{2}-c^{2}).$

Рівність для трапеції

Для довільної трапеції справедлива рівність $\operatorname {sgn}(\alpha +\beta -\alpha _{1}-\beta _{1})=\operatorname {sgn}(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}),$ де a, c  — бічні сторони, b, d  — основи трапеції, $\alpha$  — кут між діагоналлю $d_{1}$ та нижньою основою d, $\beta$  — кут між діагоналлю $d_{2}$ та нижньою основою d, $\alpha _{1}$  — кут між діагоналлю $d_{1}$ та бічною стороною a, $\beta _{1}$  — кут між діагоналлю $d_{2}$ та бічною стороною a.

Доведення

Розглянемо $\triangle BOC$ та $\triangle DOA$.

З подібності трикутників маємо відношення

${\frac {BC}{DA}}={\frac {BO}{DO}}={\frac {CO}{AO}}=k.$

Нехай $AC=d_{1}$, тоді

${\frac {CO}{AO}}={\frac {d_{1}-AO}{AO}}=k;\;AO={\frac {d_{1}}{k+1}}$.

Нехай $BD=d_{2}$. Аналогічно

$DO={\frac {d_{2}}{k+1}}$.

За теоремою Дейкстра

$\operatorname {sgn}(\alpha +\beta -\gamma )=\operatorname {sgn}(AO^{2}+OD^{2}-AD^{2})=\operatorname {sgn} \left({\frac {d_{1}^{2}}{(k+1)^{2}}}+{\frac {d_{2}^{2}}{(k+1)^{2}}}-d^{2}\right).$

Відомо, що $d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2bd+a^{2}+c^{2}$.

Виразимо d:

${\frac {BC}{AD}}=k={\frac {b}{d}};\;k+1={\frac {b}{d}}+1={\frac {b+d}{d}}\Longrightarrow d={\frac {b+d}{k+1}}$.

Підставимо:

$\operatorname {sgn} \left({\frac {2bd+a^{2}+c^{2}}{(k+1)^{2}}}-{\frac {(b+d)^{2}}{(k+1)^{2}}}\right)=\operatorname {sgn} \left({\frac {2bd+a^{2}+c^{2}-b^{2}-2bd-d^{2}}{(k+1)^{2}}}\right)=$

$=|k+1\neq 0|=\operatorname {sgn}(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2})=\operatorname {sgn}(\alpha +\beta -\gamma ).$

Оскільки $\gamma =\alpha _{1}+\beta _{1}$ одержимо наступну рівність

$\operatorname {sgn}(\alpha +\beta -\gamma )=\operatorname {sgn}(\alpha +\beta -\alpha _{1}-\beta _{1})=\operatorname {sgn}(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}).$

Що й треба було довести.

Узагальнення

Якщо у твердженні Дейкстра покласти $\alpha +\beta =\gamma =\pi /2$, то утвориться прямокутний трикутник і згідно теореми

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

Остання рівність всім відома як теорема Піфагора.

Зокрема, в трапеції із перпендикулярними діагоналями для бічних сторін виконується рівність

$a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}.$