Тензорний аналіз

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Тензорний аналіз — узагальнення векторного аналізу, розділ тензорного числення, що вивчає диференційні оператори, котрі діють на алгебрі тензорних полів , що диференціюється . Розглядаються також оператори, що діють на загальніші, ніж тензорні поля, геометричні об'єкти: тензорна густина, диференціальні форми зі значеннями у векторному розшаруванні і т.д.

Найбільший інтерес представляють оператори, дія яких не виводить за межі алгебри .

1) Коваріантна похідна уздовж векторного поля лінійне відображення простору векторних полів від , залежне від векторного поля і яке задовольняє умовам:

де , , , , — гладкі функції на . Зв'язність і паралельне перенесення, що визначаються цим оператором, дозволяють розповсюдити дію коваріантної похідної до лінійного відображення алгебри в себе; при цьому відображення є диференціюванням, зберігає тип тензорного поля і перестановочне зі згорткою.

В локальних координатах коваріантна похідна тензора з компонентами щодо вектора визначається так:

— об'єкт зв'язності .

2) Похідна Лі уздовж векторного поля — відображення простору , що визначене формулою , де — комутатор векторних полів . Цей оператор також однозначно продовжується до диференціювання , зберігає тип тензорів і переставляється зі згорткою. В локальних координатах Лі похідна тензора виражається так:

3) Зовнішній диференціал (зовнішня похідна) — лінійний оператор , що зіставляє зовнішній диференційній формі (кососиметричному коваріантному тензору) степеня форму такого ж вигляду і степеня , котра задовольняє умовам:


де — символ зовнішнього добутку — ступінь . В локальних координатах зовнішня похідна тензора виражається так:

Оператор — узагальнення оператора .

4) Тензор кривизни симетричного невиродженого двічі коваріантного тензора є дією деякого нелінійного оператора :

де

Література[ред.ред. код]

  • Акивис М.А. Гольдберг В.В. Тензорное исчисление. — Москва: Наука, 1969 — С. 352.
  • Борисенко А.И., Тарапов И.Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. — Москва: Высшая школа, 1966 — С. 254.
  • Векуа И.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. — Москва: ФМЛ, 1978 — С. 297.
  • Автор Книжка. — Видавництво. — С. 123.
  • Кочин Р.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. — Москва: Наука, 1965 — С. 427.
  • Мак-Коннел А.Дж. Введение в тензорный анализ. — Москва: ФМЛ, 1963 — С. 411.
  • Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. — Москва: Изд. МГУ, 1986 — С. 264.
  • Bishop, Richard L.; Samuel I. Goldberg (1980) [1968]. Tensor Analysis on Manifolds. Dover. ISBN 978-0-486-64039-6.
  • Lebedev, Leonid P.; Michael J. Cloud (2003). Tensor Analysis. World Scientific. ISBN 978-981-238-360-0.
  • Kay, David C (1988-04-01). Schaum's Outline of Tensor Calculus. McGraw-Hill. ISBN 978-0070334847.
  • Synge JL, Schild A (1978-07-01). Tensor Calculus. Dover Publications. ISBN 978-0486636122.