Тензор кривини

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Тензор Рімана (тензор внутрішньої кривини многовида) з'являється при розгляді комутатора коваріантних похідних коваріантного вектора (дивіться статтю Диференціальна геометрія)

Замість коваріантних компонент можна підставити базисні вектори :

І враховуючи, що коваріантна похідна від базисних векторів дорівнює векторам повної кривини (дивіться Прості обчислення диференціальної геометрії), маємо:

Домножимо формулу (3) скалярно на , i врахуємо ортогональність векторів кривини до многовиду: . В результаті одержуємо формулу для коваріантних компонент тензора Рімана:

або після зміни знаку і перейменування індексів:

Як можна побачити з останнього рівняння (в скалярних добутках індекси і переставлені), тензор Рімана антисиметричний за першою парою індексів і за другою парою індексів (при перестановці зменшуване і від'ємник у правій частині формули (4) міняються місцями):

Також легко бачити, що тензор Рімана не змінюється при перестановці першої пари індексів з другою парою індексів (при перестановці у множниках зменшуваного індекси переставляються, але оскільки величини симетричні за індексами, то скалярний добуток зменшуваного не зміниться; у від'ємнику аналогічно, але співмножники в скалярному добутку міняються місцями, що не впливає на результат):

Згортка тензора Рімана за першим і третім індексами (або, що еквівалентно, за другим і четвертим індексами) дає симетричний тензор другого рангу , який називається тензором Річчі:

Тензор Річчі симетричний:

Тензор Річчі можна також згорнути за індексами, одержавши скалярну кривину:

Враховуючи (4), маємо:

Комутатор для контраваріантного векора одержуємо, піднявши індекс у формулі (1):

Оскільки комутатор коваріантних похідних діє на добуток тензорів за правилом диференціального оператора:

то ми можемо, користуючись формулами (1) і (11), обчислити дію комутатора коваріантних похідних на тензор, який є добутком векторів.

Але довільний тензор можна представити лінійною комбінацією таких елементарних тензорів, тому при дії комутатора на довільний тензор з будь-якою кількістю верхніх та нижніх індексів, маємо:

Тензор Рімана задовольняє дві тотожності Біанкі.
Алгебраїчна тотожність Біанкі (циклічна перестановка індексів ):

Диференціальна тотожність Біанкі (циклічна перестановка індексів ):

Існування декартової системи координат[ред.ред. код]

Якщо існує декартова система координат, то [ред.ред. код]

Якщо на многовиді існує декартова система координат (в якій метричний тензор дорівнює одиничній матриці ), то в цій системі координат всі похідні метричного тензора , а отже і всі символи Крістофеля тотожно дорівнюють нулю:

Отже і всі компоненти тензора Рімана в декартовій системі координат дорівнюють нулю:

Але оскільки тензор Рімана при переході в іншу систему координат перетворюється по тензорним правилам:

то він дорівнює нулю в будь-якій іншій системі координат на цьому многовиді.


Якщо , то можна побудувати декартову систему координат[ред.ред. код]

Нехай тензор Рімана тотожно дорівнює нулю в деякій зв'язній області многовида. Візьмемо довільну точку в межах цієї області - ця точка буде початком нашої майбутньої декартової системи координат. В точці виберемо якийсь ортонормований базис - вектори цього базису будуть задавати додатні напрямки координатних осей майбутньої системи координат.

Розглянемо один із векторів базису, який поки що для простоти позначимо буквою (взагалі-то кількість базисних векторів , і треба було б позначити індексом, який із базисних векторів ми розглядаємо; але поки ми зосередимося на побудові однієї координати).

Користуючись паралельним перенесенням починаючи з точки , в кожній точці області многовида побудуємо вектор, паралельний вектору . Результат перенесення не залежить від шляху переносу (оскільки тензор Рімана дорівнює нулю), а залежить тільки від кінцевої точки. Таким чином ми одержали в нашій області векторне поле:

яке до того ж є постійним стосовно коваріантного диференціювання, тобто справедливі рівності:

З останнього рівняння, враховуючи означення коваріантної похідної і симетрію символів Крістофеля, знаходимо:

Тепер, оскільки

То вектор є градієнтом деякої скалярної функції :

Функцію в якійсь точці області многовида можна обчислити через інтеграл по кривій, що сполучає початок координат і точку :

причому результат інтегрування не залежить від кривої (внаслідок формули Стокса і рівності (5)).

Функція і буде однією з координат. Тепер повернемося до інших векторів базису, цього разу уже пронумеруємо ці вектори індексом, взятим у дужки. Так само для кожного такого вектора побудуємо в нашій області відповідне постійне векторне поле, яке є градієнтом відповідної координати:

Оскільки паралельне перенесення групи векторів зберігає скалярні добутки між ними, а в початку координат ці скалярні добутки дорівнюють одиничній матриці, то в усій області маємо:

тобто координати є декартовими.

Погляд із охоплюючого евклідового простору[ред.ред. код]

Розглянемо рівність:

в якійсь точці многовиду, і дві геодезичні лінії, що проходять через цю точку, але в різних напрямках. Кривини цих геодезичних дорівнюють:

Тепер домножимо (10) на добуток , одержимо:

Висновок - кривини всіх геодезичних напрямлені приблизно в один бік, многовид не має сідлових точок, в яких би різні геодезичні викривлялися в протилежні боки.

Див. також[ред.ред. код]