Тензор Рімана
(тензор внутрішньої кривини многовида) з'являється при розгляді комутатора коваріантних похідних коваріантного вектора (дивіться статтю Диференціальна геометрія)
![{\displaystyle (1)\qquad [\nabla _{j}\nabla _{k}]a_{i}=-R_{\,ijk}^{s}a_{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74e9fc96d1ac73f5b5e65237d21edfd406181763)

Замість коваріантних компонент
можна підставити базисні вектори
:
![{\displaystyle (3)\qquad [\nabla _{j}\nabla _{k}]\mathbf {r} _{i}=-R_{\,ijk}^{s}\mathbf {r} _{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fff75356c7a72d41606e38ebd90a7386610db04)
І враховуючи, що коваріантна похідна від базисних векторів
дорівнює векторам повної кривини
(дивіться Прості обчислення диференціальної геометрії), маємо:

Домножимо формулу (3) скалярно на
, i врахуємо ортогональність векторів кривини до многовиду:
. В результаті одержуємо формулу для коваріантних компонент тензора Рімана:



або після зміни знаку і перейменування індексів:

Як можна побачити з останнього рівняння (в скалярних добутках індекси
і
переставлені), тензор Рімана антисиметричний за першою парою індексів
і за другою парою індексів
(при перестановці зменшуване і від'ємник у правій частині формули (4) міняються місцями):

Також легко бачити, що тензор Рімана не змінюється при перестановці першої пари індексів
з другою парою індексів
(при перестановці у множниках зменшуваного індекси переставляються, але оскільки величини
симетричні за індексами, то скалярний добуток зменшуваного не зміниться; у від'ємнику аналогічно, але співмножники в скалярному добутку міняються місцями, що не впливає на результат):

Згортка тензора Рімана за першим і третім індексами (або, що еквівалентно, за другим і четвертим індексами) дає симетричний тензор другого рангу
, який називається тензором Річчі:

Тензор Річчі симетричний:

Тензор Річчі можна також згорнути за індексами, одержавши скалярну кривину:

Враховуючи (4), маємо:

Комутатор для контраваріантного векора одержуємо, піднявши індекс
у формулі (1):
![{\displaystyle (11)\qquad [\nabla _{j}\nabla _{k}]a^{i}=-R_{\;jk}^{si}a_{s}=R_{\;jk}^{is}a_{s}=R_{\,sjk}^{i}a^{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2920538ab7971a61be11934feecfc995f6b90829)
Оскільки комутатор коваріантних похідних
діє на добуток тензорів
за правилом диференціального оператора:
=([\nabla _{i}\nabla _{j}]T)U+T([\nabla _{i}\nabla _{j}]U)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13a19fb059f80b2b03c08dcd920d358b2566f170)
то ми можемо, користуючись формулами (1) і (11), обчислити дію комутатора коваріантних похідних на тензор, який є добутком векторів.
Але довільний тензор можна представити лінійною комбінацією таких елементарних тензорів, тому при дії комутатора на довільний тензор з будь-якою кількістю верхніх та нижніх індексів, маємо:
![{\displaystyle (12)\qquad [\nabla _{j}\nabla _{k}]T_{l_{1}l_{2}\cdots }^{i_{1}i_{2}\cdots }=R_{\;sjk}^{i_{1}}T_{l_{1}l_{2}\cdots }^{si_{2}\cdots }+R_{\;sjk}^{i_{2}}T_{l_{1}l_{2}\cdots }^{i_{1}s\cdots }+\cdots -R_{\,l_{1}jk}^{s}T_{sl_{2}\cdots }^{i_{1}i_{2}\cdots }-R_{\,l_{2}jk}^{s}T_{l_{1}s\cdots }^{i_{1}i_{2}\cdots }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b51f6ed49d9643ea0ca590494b5a004a99a56ccb)
Тензор Рімана задовольняє дві тотожності Біанкі.
Алгебраїчна тотожність Біанкі (циклічна перестановка індексів
):

Диференціальна тотожність Біанкі (циклічна перестановка індексів
):

Існування декартової системи координат[ред. | ред. код]
Якщо існує декартова система координат, то
[ред. | ред. код]
Якщо на многовиді існує декартова система координат (в якій метричний тензор дорівнює одиничній матриці
), то в цій системі координат всі похідні метричного тензора
, а отже і всі символи Крістофеля тотожно дорівнюють нулю:

Отже і всі компоненти тензора Рімана в декартовій системі координат дорівнюють нулю:

Але оскільки тензор Рімана при переході в іншу систему координат перетворюється по тензорним правилам:

то він дорівнює нулю в будь-якій іншій системі координат на цьому многовиді.
Якщо
, то можна побудувати декартову систему координат[ред. | ред. код]
Нехай тензор Рімана тотожно дорівнює нулю в деякій зв'язній області многовида. Візьмемо довільну точку
в межах цієї області - ця точка буде початком нашої майбутньої декартової системи координат. В точці виберемо якийсь ортонормований базис - вектори цього базису будуть задавати додатні напрямки координатних осей майбутньої системи координат.
Розглянемо один із векторів базису, який поки що для простоти позначимо буквою
(взагалі-то кількість базисних векторів
, і треба було б позначити індексом, який із базисних векторів ми розглядаємо; але поки ми зосередимося на побудові однієї координати).
Користуючись паралельним перенесенням починаючи з точки
, в кожній точці області многовида побудуємо вектор, паралельний вектору
. Результат перенесення не залежить від шляху переносу (оскільки тензор Рімана дорівнює нулю), а залежить тільки від кінцевої точки. Таким чином ми одержали в нашій області векторне поле:

яке до того ж є постійним стосовно коваріантного диференціювання, тобто справедливі рівності:

З останнього рівняння, враховуючи означення коваріантної похідної і симетрію символів Крістофеля, знаходимо:

Тепер, оскільки

То вектор є градієнтом деякої скалярної функції
:

Функцію
в якійсь точці
області многовида можна обчислити через інтеграл по кривій, що сполучає початок координат
і точку
:

причому результат інтегрування не залежить від кривої (внаслідок формули Стокса і рівності (5)).
Функція
і буде однією з координат. Тепер повернемося до інших векторів базису, цього разу уже пронумеруємо ці вектори індексом, взятим у дужки. Так само для кожного такого вектора побудуємо в нашій області відповідне постійне векторне поле, яке є градієнтом відповідної координати:

Оскільки паралельне перенесення групи векторів зберігає скалярні добутки між ними, а в початку координат ці скалярні добутки дорівнюють одиничній матриці, то в усій області маємо:

тобто координати
є декартовими.
Погляд із охоплюючого евклідового простору[ред. | ред. код]
Розглянемо рівність:

в якійсь точці
многовиду, і дві геодезичні лінії, що проходять через цю точку, але в різних напрямках. Кривини цих геодезичних дорівнюють:


Тепер домножимо (10) на добуток
, одержимо:

Висновок - кривини всіх геодезичних напрямлені приблизно в один бік, многовид не має сідлових точок, в яких би різні геодезичні викривлялися в протилежні боки.