Тензор кручення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Тензором кручення в диференціальній геометрії називається векторозначний тензор, що кожній парі векторних полів класу , заданих на деякому гладкому многовиді з введеною афінною зв'язністю присвоює векторне поле класу . Разом із тензором кривини тензор кручення є одним з головних інваріантів афінної зв'язності. Зокрема тензор кручення відіграє дуже важливу роль у вивченні геометрії геодезичних ліній на многовидах.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай є диференційовним многовидом разом з визначеною на ньому афінною зв'язністю . Тензор кручення задається як векторозначне тензорне поле, що визначається рівністю:

Тут — векторні поля, а дужки Лі.

Властивості[ред.ред. код]

З властивостей афінних зв'язностей і дужок Лі одразу одержуються наступні властивості тензора кручень:

  • Тензор кручення є кососиметричним, тобто:
  • Тензор кручення є білінійним:
  • Для довільної гладкої на многовиді функції f:

Зв'язок з тензором кривини і тотожності Біанкі[ред.ред. код]

Тензором кривини афінної зв'язності ∇ називається відображення TM × TM → End(TM), що кожній парі векторних полів X, Y присвоює лінійне перетворення, дія якого на векторному полі Z визначається як:

Значення тензора кривини, як і тензора кручень в кожній точці залежить лише від значення векторів у цій точці, а не всіх векторних полів. Нехай позначає циклічну суму по X, Y, and Z. Наприклад:

Тензори кривини і кручень пов'язані такими рівностями, що називаються тотожностями Біанкі:

1. Перша тотожність Біанкі:

2. Друга тотожність Біанкі:

Компоненти тензора кручення в локальних координатах[ред.ред. код]

Нехай векторні поля є локальним базисом дотичного розшарування . Нехай позначає компоненти тензора кручення, так що . Якщо також визначити , то компоненти в локальних координатах запишуться через формулу:

Тут позначають символи Крістофеля. Якщо локальним базисом є, наприклад координатний базис, то і для компонент тензора кручення справедлива формула:

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Hicks, Noel (1965). Notes on Differential Geometry. Van Nostrand, Princeton, N. J.,. ISBN 0442034105.  (англ.)
  • Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963). Foundations of differential geometry. John Wiley & Sons. ISBN 0-470-49647-9.  (англ.)