Теорема Єгорова

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Єгорова (теорема Северіні — Єгорова) — твердження в теорії міри про зв'язок збіжності майже всюди і рівномірної збіжності.

Твердження теореми[ред.ред. код]

Нехай вимірний простір, в підмножина скінченної міри. Якщо послідовність вимірних функцій збігається майже всюди до функції , тоді для довільного числа існує множина така що і збіжність є рівномірною на доповненні .

Доведення[ред.ред. код]

Нехай Оскільки майже всюди, існує множина для якої і для і існує таке що з випливає . Це можна записати як:

або еквівалентно,

Оскільки є спадною послідовністю вкладених множин скінченної міри, перетин яких є пустою множиною, із неперервності зверху одержується

Тому для довільного , можна вибрати так що

Нехай Тоді Збіжність є рівномірною на множині . Справді для довільного , існує таке що . Якщо , тоді звідки випливає, що для , ; тобто, . Тому для довільного існує (визначене вище як ), що для виконується для довільного . Тобто на множині збіжність є рівномірною, що й доводить теорему.

Дивіться також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]