Теорема Абеля — Руффіні

Теоре́ма А́беля — Руффі́ні стверджує, що загальне рівняння п'ятого та вищих степенів є нерозв'язним у радикалах — для коренів многочлена не існує формули, в якій застосовуються чотири арифметичні дії та добування коренів (довільного ступеня).

Із доведення випливає існування рівнянь п'ятого й вищих ступенів, для яких корені не виражаються в радикалах. Найпростішими нерозв'язними в радикалах є рівняннями:

$x^{5}\pm x-1=0$

Основна теорема алгебри доводить, що рівняння $\ n$-го степеня має $\ n$ комплексних коренів, хоча над іншими полями коренів може і не існувати.

Загальну відповідь про наявність коренів многочлена над заданим полем та розв'язність над цим полем дає теорія Галуа.

Історія

Паоло Руффіні, Teoria generale delle equazioni, 1799

1770 року Жозеф-Луї Лагранж у своїй роботі, описуючи способи пошуку коренів рівнянь, застосував поняття групи перестановок коренів рівняння. Ця інноваційна робота заклала основи теорії Галуа, що була виявлена в паперах Евариста Галуа після його смерті.

Першу версію теореми довів Паоло Руффіні 1799 року, але в його доведенні були прогалини. 1824 року Нільс Абель опублікував детальне доведення теореми.

Теорія Галуа

Сучасне доведення використовує теорію Галуа.

Група Галуа описує групи перестановок $\ S_{n}$ коренів многочленів.

При $n\geq 5$ група перестановок $\ S_{n}$ не є розв'язною.

Доведення теореми

Нехай

$\ y_{1}$ — дійсне число трансцендентне над полем раціональних чисел $\mathbb {Q}$,

$\ y_{2}$ — трансцендентне над розширенням $\mathbb {Q} (y_{1})$, і так далі до

$\ y_{5}$ — трансцендентне над $\mathbb {Q} (y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})$.

Позначимо $\ E=\mathbb {Q} (y_{1},y_{2},y_{3},y_{4},y_{5}),$ тоді:

$f(x)=(x-y_{1})(x-y_{2})(x-y_{3})(x-y_{4})(x-y_{5})\in E[x].$

Теорема Вієта: відкривши дужки, отримаємо що $\ f(x)$ є симетричною функцією відносно $\ y_{n},$ оскільки коефіцієнтами многочлена будуть:

$\ s_{1}=y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{5}$

$\ s_{2}=y_{1}y_{2}+y_{1}y_{3}+\cdots +y_{4}y_{5}$

і так далі до

$\ s_{5}=y_{1}y_{2}y_{3}y_{4}y_{5}.$

Кожна перестановка $\ \sigma$ групи $\ S_{5}$ означає автоморфізм $\ \sigma '$ на $\ E$ що залишає $\mathbb {Q}$ нерухомим та переставляє $\ y_{n}.$ Оскільки від перестановки коренів многочлен не змінюється, отже $\ E$ також є нерухомим, отже утворює групу Галуа

$\ |G(E/F)|=|S_{5}|=5!$

Єдиним розкладом $\ S_{5}$ є

$\ S_{5}\geq A_{5}\geq \{e\}$ (де $\ A_{5}$ — альтернативна група).

Фактор-група $\ A_{5}/\{e\}$ (ізоморфна самій $\ A_{5}$) не є абелевою групою, тому $\ S_{5}$ не є розв'язною.

Розв'язувані типи рівнянь

• Абелеві рівняння
• Зворотне рівняння

Див. також

• Квадратне рівняння
• Кубічне рівняння
• Рівняння четвертого степеня
• Дискретне перетворення Абеля
• Список об'єктів, названих на честь Нільса Генріка Абеля

Література

• Jean-Pierre Tignol. Galois’ Theory Of Algebraic Equations. — World Scientific Publishing Company, 2001. — 348 с. — ISBN 978-9810245412. (англ.)
• Алексеев В. Б. Теорема Абеля в задачах и решениях. — МЦНМО, 2001. — 192 с. — ISBN 5-900916-86-3. (рос.)
• Е. Артін (1963). Теорія Галуа. пер. з нім. В.А. Вишенського. Київ: Радянська школа. с. 98. (укр.)
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)

Посилання

• Rosen, Michael I. (1995). Niels Hendrik Abel and equations of the fifth degree (PDF). The American mathematical monthly. 102 (6): 495—505. (англ.)
• Short proof of Abel's theorem that 5th degree polynomial equations cannot be solved на YouTube (англ.)