Теорема Абеля (аналіз)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Абеля — результат теорії степеневих рядів, названий на честь норвезького математика Нільса Абеля.

Твердження[ред.ред. код]

Нехай  — степеневий ряд з комплексними коефіцієнтами і радіусом збіжності .

Якщо ряд є збіжним, тоді :

.

Доведення[ред.ред. код]

Заміною змінних , можна вважати . Також (необхідним підбором ) можна припустити . Позначимо часткові суми ряду . Згідно з припущенням і потрібно довести, що .

Розглянемо . Тоді (прийнявши ) :

Звідси одержується .

Для довільного існує натуральне число , що для всіх , тому :

Права частина прямує до коли прямує до 1, зокрема вона є меншою при прямуванні до 1.

Приклади[ред.ред. код]

Приклад 1[ред.ред. код]

Візьмемо . Оскільки ряд збігається, маємо:

Приклад 2[ред.ред. код]

Візьмемо . Ряд збігається, тому :

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]