Теорема Аполлонія

Теорема Аполлонія

Теорема Аполлонія пов'язує лінійні елементи в трикутнику. Нехай дано трикутник $ABC$, точка $D$ лежить на стороні $BC$ і ділить її у співвідношенні $n:m$ (тобто $mBD=nDC$), тоді справедлива рівність:

$mAB^{2}+nAC^{2}=mBD^{2}+nDC^{2}+(m+n)AD^{2}.\,$

Якщо $m=n=1$, тобто коли $AD$ є медіаною опущеною на сторону $BC$, то теорема спрощується:

$AB^{2}+AC^{2}=2(AD^{2}+BD^{2})\,\!$

Крім того якщо $AB=AC$, то трикутник рівнобедрений і теорема спрощується до теореми Піфагора.

$AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}(=AC^{2}).\,$

Див. також

• Теорема Стюарта
• Задача Аполлонія

Джерела

• Charles Godfrey, Arthur Warry Siddons. Modern Geometry. — University Press, 1908. — P. 20.
• Apollonius Theorem на PlanetMath.(англ.)