Теорема Барбашина — Красовського
У теорії звичайних диференціальних рівнянь теоре́ма Барба́шина — Красо́вського (також при́нцип інваріа́нтності ЛаСа́ля; англ. LaSalle's invariance principle) дає достатні умови асимптотичної стійкості нульового розв'язку системи звичайних диференціальних рівнянь.[1] Загальне твердження було незалежно доведене М. М. Красовським[ru][2] та Д. П. ЛаСалєм[3]. В англомовних джерелах результат відомий під назвою принцип інваріантності ЛаСаля (англ. LaSalle's invariance principle), тоді як в українській (та радянській) літературі здебільшого вживається термін теорема Красовського, або теорема Барбашина-Красовського.
Стан системи у фазовому просторі (де ) в час даний точкою , де диференційовні функції. Розглянемо систему звичайних диференціальних рівнянь , де неперервна функція, . Систему можна коротко записати як . Припустимо що є точкою рівноваги системи, тобто .
Якщо існує додатно визначена[en] нескінченно велика функція похідна від якої по часу вздовж траєкторій системи є від'ємно-сталою (тобто повсюди), причому рівність можлива на монжині, яка не містить цілих траєкторій, крім точки , то нульовий розв'язок системи рівнянь стійкий в цілому.
Нехай скалярна функція з неперервними частковими похідними повсюди яка також задовольняє
- коли ,
- повсюди,
- з тим як .
Якщо рівність можлива на монжині, яка не містить цілих траєкторій, крім точки , то нульовий розв'язок системи рівнянь стійкий в цілому.
- ↑ М. О. Перестюк, О. С. Чернікова. Теорія стійкості [Архівовано 4 березня 2016 у Wayback Machine.], §3. Узагальнення теореми Ляпунова про асимптотичну стійкість, §4. Узагальнення третьої теореми Ляпунова.
- ↑ Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения [Архівовано 19 листопада 2015 у Wayback Machine.], 1959. (рос.)
- ↑ LaSalle, J.P. Some extensions of Liapunov's second method, IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp. 520-527, 1960. (англ.)
- (en) LaSalle J. P. Some extensions of Liapunov's second method, IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp. 520–527, 1960. — Загальне твердження.
- (ru) Барбашин Е. А., Красовский Н. Н. Об устойчивости движения в целом, 1952. — Окремий випадок.
- (ru) Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения, 1959. — Загальне твердження.
- Самойленко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Диференціальні рівняння у прикладах і задачах. — К. : Вища школа, 1994.
- Перестюк М. О., Чернікова О. С. Теорія стійкості.