Теорема Барбашина — Красовського

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

У теорії звичайних диференціальних рівнянь теоре́ма Барба́шина — Красо́вського (також при́нцип інваріа́нтності ЛаСа́ля; англ. LaSalle's invariance principle) дає достатні умови асимптотичної стійкості нульового розв'язку системи звичайних диференціальних рівнянь.[1] Загальне твердження було незалежно доведене М. М. Красовським[ru][2] та Д. П. ЛаСалєм[3]. В англомовних джерелах результат відомий під назвою принцип інваріантності ЛаСаля (англ. LaSalle's invariance principle), тоді як в українській (та радянській) літературі здебільшого вживається термін теорема Красовського, або теорема Барбашина-Красовського.

Постановка[ред. | ред. код]

Стан системи у фазовому просторі (де ) в час даний точкою , де диференційовні функції. Розглянемо систему звичайних диференціальних рівнянь , де неперервна функція, . Систему можна коротко записати як . Припустимо що є точкою рівноваги системи, тобто .

Теорема Барбашина — Красовського[ред. | ред. код]

Якщо існує додатно визначена[en] нескінченно велика функція похідна від якої по часу вздовж траєкторій системи є від'ємно-сталою (тобто повсюди), причому рівність можлива на монжині, яка не містить цілих траєкторій, крім точки , то нульовий розв'язок системи рівнянь стійкий в цілому.

Принцип інваріантності ЛаСаля[ред. | ред. код]

Нехай скалярна функція з неперервними частковими похідними повсюди яка також задовольняє

  1. коли ,
  2. повсюди,
  3. з тим як .

Якщо рівність можлива на монжині, яка не містить цілих траєкторій, крім точки , то нульовий розв'язок системи рівнянь стійкий в цілому.

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. М. О. Перестюк, О. С. Чернікова. Теорія стійкості Архівовано 4 березня 2016 у Wayback Machine., §3. Узагальнення теореми Ляпунова про асимптотичну стійкість, §4. Узагальнення третьої теореми Ляпунова.
  2. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения Архівовано 19 листопада 2015 у Wayback Machine., 1959. (рос.)
  3. LaSalle, J.P. Some extensions of Liapunov's second method, IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp. 520-527, 1960. (англ.)

Оригінальні статті[ред. | ред. код]

Посилання[ред. | ред. код]