Теорема Барб'є

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теоре́ма Барб'є́ — теорема французького астронома і математика Еміля Барб'є, що описує довжину кривих постійної ширини. Сформульована і доведена Барб'є в 1860 році.

Формулювання[ред.ред. код]

Теорема.

Довжина будь якої кривої постійної ширини a дорівнює \pi a.

Доведення[ред.ред. код]

Існує кілька доведень теореми Барб'є:

  • Базується на методах опуклої геометрії. З одного боку, опукла фігура является фигурой постоянной ширины a, якщо і тільки якщо сума Минковского її і її образу при центральної симетрії виявляється колоом радіуса a. З іншого боку, при сумі по Минковскому плоских опуклих фігур їх периметри складаються, периметр фігури постійної ширини дорівнює половині периметра кола радіуса a, тобто \pi a.[1]
  • Базується на теорії ймовірностей. Барб'є довів теорему, узагальнюючу відому відповідь в задачі Бюффона про киданні голки. Він показав, що при киданні опуклої фігури на площину, розкреслену лініями на відстані d один від одного, якщо фігура не може перетнути більше однієї з цих ліній, то ймовірність, що фігура перетне одну з ліній, виявляється рівною \frac{L}{\pi d}, де L — периметр цієї фігури[2][3]. Оскільки фігура постійної ширини a задовольняє умові цієї теореми для d=a, а ймовірність перетину в цьому випадку дорівнює одиниці, її периметр повинен дорівнювати \pi a.[4]

Варіації та узагальнення[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Bogomolny A. «The Theorem of Barbier». Cut The Knot (англійською). Архів оригіналу за 2012-02-04. 
  2. [E.] Note sur le problème de l’aiguille et le jeu du joint couvert // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 5 (1860) С. 273—286.
  3. Seneta Е., Parshall K. H., Jongmans F. Nineteenth-Century Developments in Geometric Probability: J. J. Sylvester, M. W. Crofton, J.-É. Barbier, and J. Bertrand // Archive for History of Exact Sciences. — 55 (6 2001) С. 501-524.
  4. Bogomolny A. «Math Surprises: An Example». Cut The Knot (англійською). Архів оригіналу за 2012-02-04. 

Література[ред.ред. код]