Теорема Бойяі — Гервіна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
По теоремі Уоллеса-Бойяї-Гервіна квадрат можна розрізати на частини і скласти в трикутник такої самої площі.

В геометрії, теорема Уоллеса-Бойяї-Гервіна,[1] названа ім'ям Вільяма Уоллеса[en], Фаркоша Бойяї[en] і Павла Гервіна, стверджує, що будь-які два простих багатокутника рівної площі є рівноскладеними; тобто можна розрізати на кінцеве число багатокутних шматочків та перегрупувати частини так, щоб отримати другий багатокутник.

Ясно, що будь-які два рівноскладені багатокутники є рівновеликі.

Перегрупування означає, що можна застосувати паралельне перенесення і обертання для кожної частини багатокутника.

На відміну від узагальненого рішення для квадратури кола Тарського, аксіома вибору не потрібна для доказу, і розкладання та збирання може бути фактично здійснено фактично, тобто можна все вирізати ножицями з паперу.

Теорема можна розбити на два кроки. Спершу, кожен багатокутник може бути розрізано на трикутники: для опуклих багатокутників безпосередньо послідовно відрізуємо вершини, для увігнутих багатокутників це робиться більш уважно. Кожен з цих трикутників може потім бути перетворений на прямокутний трикутник, для цього достатньо провести висоту. Тому легко обчислити площу такого трикутника, яка дорівнює половині площі прямокутника, або ж можна розбити прямокутний трикутник і зібрати прямокутник. Другий крок — кожен правильний трикутник (чи еквівалентний прямокутник) може бути перегрупований у прямокутник з заданою (одиничною) довжиною сторони. З цього слідує, що кожен багатокутник може бути еквівалентний прямокутнику з так заданими шириною і висотою, щоб дорівнювати його площі, що і доводить теорему.

Вищі розмірності[ред.ред. код]

Аналогічне твердження про багатогранник в тривимірному просторі, відоме як Третя проблема Гільберта[en], є хибним. Це було доведено Максом Деном[en] в 1900.

Історія[ред.ред. код]

Фаркош Бойяї[en] вперше сформулював питання. Гервін довів теорему в 1833, але остаточно це зробив Уоллес[en] вже в 1807.

Згідно з іншими джерелами, Бойяї та Гервін незалежно один від одного довели теорему в 1833 і 1835, відповідно.

Примітки[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]