Теорема Веддерберна — Артіна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Теорема Веддерберна — Артіна — твердження у абстрактній алгебрі, що класифікує усі напівпрості артинові кільця. Згідно теореми вони всі є ізоморфними добуткам матричних груп над деякими тілами.

Означення[ред. | ред. код]

Кільце (тут всі кільця вважаються кільцями з одиницею) називається простим якщо і не містить ідеалів окрім і .

Кільце називається лівим напівпростим кільцем якщо воно є напівпростим як лівий модуль над собою. Аналогічно можна дати означення правого напівпростого кільця.

Загалом просте кільце не є частковим випадком лівих напівпростих кілець; зокрема ліве напівпросте кільце є також правим напівпростим і (лівим і правим) артиновим кільцем. Натомість існують прості кільця, які не є артиновими. Проте додавши вимогу артиновості просте кільце буде і лівим і правим напівпростим.

Твердження для простих кілець[ред. | ред. код]

Для кільця наступні умови є еквівалентними:

  1. R — просте і ліве артинове кільце;
  2. R — ліве напівпросте ненульове кільце і всі прості ліві R-модулі є ізоморфними;
  3. де — кільце усіх матриць над деяким тілом і ;
  4. Для трьох попередній умов справедливими є їх правосторонні аналоги.

Крім того, число є однозначно визначеним і є єдиним з точністю до ізоморфізмів.

Доведення[ред. | ред. код]

(1) -> (2). Нехай — мінімальний лівий ідеал . Зважаючи на простоту маємо де є елементами . Лівий ідеал є образом при гомоморфному відображенні тому, враховуючи мінімальність ідеалу , або або є ізоморфним Тому є сумою лівих ідеалів ізоморфних і тому з властивостей напівпростих модулів є прямою сумою таких модулів, тобто є напівпростим. Крім того, будь-який простий лівий -модуль є ізоморфний як модуль фактору по лівому ідеалу, тож він є ізоморфним мінімальному лівому ідеалу.

(2) -> (3). оскільки є скінченнопородженим (елементом 1) лівим -модулем, і напівпростим згідно припущення, воно є прямою сумою скінченної кількості мінімальних лівих ідеалів, які є ізоморфними між собою. Візьмемо мінімальний лівий ідеал і припустимо що . Згідно леми Шура, є тілом; Тоді . Також оскільки для довільного такого гомоморфізму , тобто ендоморфізм є множенням на елемент . Разом , що і треба було довести.

Тут є однозначно визначеним як довжиною композиційного ряду підмодулів як лівого -модуля, а є єдиним з точністю до ізоморфізму як кільце ендоморфізмів єдиного типу простих лівих -модулів.

(3) => (1). має скінченну розмірність як лівий -векторний простір; кожний лівий ідеал є підпростором, тому умова спадних ланцюгів ідеалів виконується і є лівим артіновим модулем. Щоб довести, що є простим модулем, візьмемо будь-який , наприклад . Тоді , тож ідеал породжений містить всі і тому є рівним . Це показує, що є простим кільцем.

Оскільки умова (3) є симетричною щодо лівих 1 правих ідеалів , (1) і (2) також виконуються для правих ідеалів.

Твердження для напівпростих кілець[ред. | ред. код]

Усі ліві напівпрості кільця є скінченними добутками повних матричних кілець над тілами: , де і типи ізоморфізму однозначно визначаються . Навпаки, кожне кільце такого виду є напівпростим. Зокрема, кожне ліве напівпросте кільце є правим напівпростим і (лівим і правим) артіновим.

Крім того, два мінімальні ліві ідеали у є ізоморфними якщо і тільки якщо вони належать одному множнику у цьому розкладі.

Доведення[ред. | ред. код]

Оскільки є лівим напівпростим і є скінченнопородженим як лівий ідеал, то де і є мінімальними лівими ідеалами, що є неізоморфними для різних індексів. Згідно леми Шура, є тілом, а . Тоді також . Оскільки всі є сумами мінімальних лівих ідеалів з властивостей напівпростих модулів маємо . Тут , і тип ізоморфізму , визначаються типом компоненти .

Навпаки, для будь-якого тіла і довільного , маємо , де є мінімальним лівим -модулем, представленим, наприклад, стовпцем матричного кільця . Тож є лівим напівпростим. Воно має скінченну довжину композиційного ряду і тому є лівим артиновим. Зважаючи на симетрію матричного кільця воно є також правим напівпростим і правим артіновим.

Див. також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]