Теорема Вівіані
Теоре́ма Вівіа́ні (англ. Viviani's theorem) — твердження у геометрії трикутника, згідно з яким сума відстаней від довільної точки всередині правильного трикутника до його сторін є сталою і дорівнює висоті трикутника[1].
Названа іменем італійського математика Вінченцо Вівіані, який опублікував її в 1649 році.
Твердження за частиною сталості суми відстаней від довільної внутрішньої точки до сторін може бути узагальнене на правильні многокутники і многокутники з однаковими кутами[1].
Теорему можна довести шляхом порівняння площ трикутників. Нехай — рівносторонній трикутник, у якому — це висота, і — довжина кожної із сторін. Точка обирається довільно всередині трикутника, і тоді , , — відстані від точки до сторін трикутника. Тоді площа може бути визначена таким способом:
- ,
Звідки випливає співвідношення:
- ,
тобто:
- ,
що і потрібно було довести.
Теорема Вівіані дозволяє отримувати координати точок на трикомпонентних діаграмах шляхом проведення ліній, паралельних до сторін рівностороннього трикутника. Зокрема так можна будувати діаграми займистості .
У загальнішому випадку, вона дозволяє задавати координати на правильному симплексі.
У своєму виданні п'ятої книги «Конічні перетини» Аполлонія[2] Вівіані дає більш загальний результат:
У правильному опуклому n-кутнику (тобто і рівносторонньому і рівнокутному) сума відстаней від будь-якої точки всередині багатокутника до його сторін (або їх продовжень) постійна і не залежить від розташування точки. |
Зокрема, якщо ‒ відстані від деякої точки Р, що лежить всередині правильного n-кутника, до його сторін,
‒ апотема цього n-кутника, то виконується рівність[3]:
Доведення аналогічне до випадку трикутника. Якщо P знаходиться всередині n-кутника A1…An, то відрізки PA1, …PAn ділять багатокутник на n трикутників з основами A1A2, A2A3, …, AnA1. Тоді площа багатокутника дорівнює сумі площ всіх трикутників. Оскільки основи трикутників однакові (довжина сторони n-кутника), то сума площ дорівнює добутку суми висот на половину сторони. Площа багатокутника та довжина половини сторони не залежать від P, сума висот трикутників також не залежить від P.
Після проведення нескладних обчислень, знаходимо, що ця сума дорівнює добутку n на апотему.[3]
Сума відстаней від внутрішньої точки рівнокутного многокутника до його сторін не залежить від розташування точки.[1]
Необхідною і достатньою умовою для того, щоб опуклий багатокутник мав постійну суму відстаней від будь-якої внутрішньої точки до сторін, є наявність трьох неколінеарних внутрішніх точок з однаковими сумами відстаней.[1]
Сума відстаней від внутрішньої точки опуклого багатогранника до його граней постійна, якщо всі грані багатогранника мають однакову площу (зокрема і правильні багатогранники).[1] Наприклад, властивістю володіють усі тетраедри з гранями однакової площі (тобто рівногранні тетраедри[en]), а не лише правильний тетраедр.[3]
Сума також постійна для багатогранників, грані яких парні за кількістю і мають попарно паралельні протилежні грані (як у паралелепіпедів і архімедових багатогранників, за винятком двох кирпатих).
- ↑ а б в г д Abboud, Elias (2010). "On Viviani’s Theorem and its Extensions". College Mathematics Journal. 43 (3): 16. arXiv:0903.0753v3. doi:10.4169/074683410X488683. S2CID 118912287.
- ↑ Apolonio de Pérgamo; Vincenzo, Viviani (1659). De maximis et minimis geometrica… (італ.) . Appendice. с. 146.
- ↑ а б в Chen, Zhibo; Liang, Tian (2006). The converse of Viviani's theorem. The College Mathematics Journal. 37 (5): 390—391. doi:10.2307/27646392. JSTOR 27646392.
- Weisstein, Eric W. Viviani's Theorem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Li Zhou, Viviani Polytopes and Fermat Points
- Viviani's Theorem: What is it? at Cut the knot[en].
- Viviani's Theorem by Jay Warendorff, the Wolfram Demonstrations Project .