Теорема Вілсона

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В теорії чисел теорема Вілсона стверджує, що натуральне число n>1 є простим в тому і тільки тому випадку коли справджується рівність:

Історія[ред.ред. код]

Теорема вперше була сформульована індійським математиком Бхаскарою, а згодом арабським вченим Ібн аль Хайтамом. В Європі її сформулював без доведення англійський математик Джон Вілсон, на честь якого вона названа. Перше відоме доведення дав Лагранж у 1773 році.

Доведення[ред.ред. код]

Нехай p деяке просте число. Елементарними обчисленнями можна переконатися, що теорема справджується для p=2 і p=3. Тож вважатимемо, що p > 3. Якщо для деякого цілого справджується рівність:

то справджується також або

Тож у випадку, якщо , маємо або .

Якщо ж , тоді існує деяке , відмінне від , таке, що . Таким чином справджується:

.

Дана рівність еквівалентна наступній:

,

звідки випливає, що ділиться на . Тоді і як наслідок

зважаючи, що маємо

,

звідки

.

Тому маємо

і число не ділиться на .

Застосування теореми[ред.ред. код]

Теорема Вілсона може бути використана для перевірки чисел на простоту. Наприклад відповідний алгоритм на мові С++:

int factorial(int x) {
    if( x == 0 ) return 1;
    return x * factorial (x - 1);
}
bool simpleInt (int p)
{
  return ((factorial (p-1)+1)%p==0);
}

Проте через складність обчислення факторіалу даний метод є дуже неефективним.

Дивись також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Бухштаб А. А. Теория чисел, 2-е издание, М., 1966
  • Трост Э. Простые числа, пер. с нем., М., 1959