Теорема Вієта

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теоре́ма Віє́та — формули, названі на честь Франсуа Вієта, що виражають коефіцієнти многочлена через його корені.

Ці формули зручно використовувати для перевірки правильності знаходження коренів та для задання многочлена з визначеними властивостями.

Формули[ред.ред. код]

Якщо  — корені многочлена (кожен корінь присутній відповідно до його кратності),
то коефіцієнти виражаються в вигляді симетричних многочленів від коренів, а саме:

Іншими словами дорівнює сумі всіх можливих -добутків із коренів.

Якщо старший коефіцієнт многочлена , то для застосування формули Вієта необхідно розділити всі коефіцієнти на

Із останньої формули Вієта випливає, що якщо корені многочлена є цілими, то вони є дільниками його вільного члена, який також є цілим.

Доведення[ред.ред. код]

Доведення використовує рівність

Права частина представляє многочлен, розкладений на множники.

Після відкриття дужок, коефіцієнти при однакових степенях x повинні бути однаковими в обох частинах, з чого слідують формули Вієта.

Приклади[ред.ред. код]

  • Якщо корені квадратного рівняння то
  • В частковому випадку при (квадратне рівняння ), то

Див. також[ред.ред. код]