Теорема Гана — Банаха

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Гана-Банаха — один із ключових результатів функціонального аналізу, що стверджує, що довільний обмежений функціонал, визначений на деякому підпросторі векторного простору можна продовжити на весь векторний простір.

Формулювання[ред.ред. код]

Для векторного простору X над полем дійсних чисел функція називається сублінійною, якщо виконуються наступні умови:

  для довільних та x ∈ X,
  для довільних xy ∈ X.

Загальне твердження теореми можна подати так: Якщо є сублінійною функцією, і є лінійним функціоналом на лінійному підпросторі Y простору X і також виконується нерівність:

тоді існує продовження для φ на весь простір X, i.e., тобто існує функціонал ψ такий що

і

Доведення[ред.ред. код]

Спершу доведемо, що існує продовження в одному напрямку. Нехай . Розглянемо лінійний простір виду:

Продовження на запишемо:

де  — дійсне число яке необхідно визначити.

Для довільних і виконується:

Звідси

Як наслідок

Визначимо так

Виконується рівність

.

Визначимо

Для всіх і довільних , справджується нерівність:

тому

Для завершення доведення використовується лема Цорна. Нехай E є множиною усіх можливих продовжень, що задовольняють умови теореми. Дана множина є частково впорядкована за включенням областей визначення і кожна лінійно впорядкована підмножина має супремум (об'єднання областей визначення). Тому за лемою Цорна дана множина має максимальний елемент. Цей елемент рівний всьому простору, адже в іншому випадку можна здійснити дальше продовження скориставшись щойно визначеною конструкцією.

Наслідки[ред.ред. код]

  • Якщо є нормованим простором, є його підпростором і є деяким функціоналом на , тоді існує такий що:
і також .
  • Для довільних двох різних точок лінійного простору існує лінійний функціонал, що приймає різні значення в цих точках.

Джерела[ред.ред. код]