Теорема Гана — Банаха

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Гана-Банаха — один із ключових результатів функціонального аналізу, що стверджує, що довільний обмежений функціонал, визначений на деякому підпросторі векторного простору можна продовжити на весь векторний простір.

Формулювання[ред.ред. код]

Для векторного простору X полем R дійсних чисел функція ƒ : XR називається сублінійною, якщо виконуються наступні умови:

f(\gamma x ) =  \gamma f\left( x\right)   для \gamma\in 
\mathbb{R}_+ і довільного x ∈ X,
f(x + y) \le f(x) + f(y)  для довільних xy ∈ X .

Загальне твердження теореми можна подати так: Якщо p:\; V\rightarrow\mathbb{R} є сублінійною функцією, і \scriptstyle\varphi:\; U\rightarrow\mathbb{R} є лінійним функціоналом на лінійному підпросторі Y простору X і також виконується нерівність:

\varphi(x) \leq p(x)\qquad\forall x \in Y

тоді існує продовження \scriptstyle\psi:\; X\rightarrow\mathbb{R} для φ на весь простір X, i.e., тобто існує функціонал ψ такий що

\psi(x)=\varphi(x)\qquad\forall x\in Y

і

\psi(x) \le \mathcal{N}(x)\qquad\forall x\in X.

Доведення[ред.ред. код]

Спершу доведемо, що існує продовженн в одному напрмку. Нехай z\in X\setminus Y. Розглянемо лінійний простір виду:

Y_z\doteq\left\{y+az, \ y\in Y,\ a\in \R\right\}.

Продовження f на Y_z запишемо:

\tilde f(y+az)\doteq f(y)+a \tilde f(z),

де \tilde f(z) — дійсне число яке необхідно визначити.

Для довільних y_1, y_2\in Y і a,b>0 виконується:

f(ay_1+by_2)=af(y_1)+bf(y_2)=(a+b)f\left(\frac{a}{a+b}y_1 + \frac{b}{a+b}y_2\right)\le
(a+b)p  \left(\frac{a}{a+b}y_1 + \frac{b}{a+b}y_2\right) =
(a+b)p  \left(\frac{a}{a+b}(y_1-bz) + \frac{b}{a+b}(y_2+az)\right) \le
a p(y_1-bz) + b p(y_2+az).

Звідси

a \left(f(y_1) - p(y_1-bz)\right) \le -b\left(f(y_2)+p(y_2+az)\right)

Як наслідок

\frac{1}{b}\left(-p(y_1-bz)+f(y_1)\right) \le 
\frac{1}{a}\left(p(y_2+az)-f(y_2)\right)\quad \forall \ y_1,y_2\in Y, \quad \forall a,b>0.

Визначимо c\in \R так

\sup_{a>0,y\in Y}\left\{ \frac{1}{a} \left[ -p(y-az)+f(y)\right]\right\} \le c \le
\inf_{a>0,y\in Y}\left\{ \frac{1}{a} \left[ p(y+az)-f(y)\right]\right\}.

Виконується рівність

ac \le p(y+az) -f(y) \quad \forall \ y\in Y, \quad \forall \ a\in \R.

Визначимо

\tilde f(z)=c.

Для всіх y\in Y і довільних a\in \R, справджується нерівність:

\tilde f(y+az)=f(y)+ac \le p(y+az),

тому

\tilde f(x)\le p(x)\quad \forall\ x\in Y_z.

Для завершення доведення використовується лема Цорна. Нехай E є множиною усіх можливих продовжень, що задовольняють умови теореми. Дана множина є частково впорядкована за включенням областей визначення і кожна лінійно впорядкована підмножина має супремум (об'єднання областей визначення). Тому за лемою Цорна дана множина має максимальний елемент. Цей елемент рівний всьому простору, адже в іншому випадку можна здійснити дальше продовження скориставшись щойно визначеною конструкцією.

Наслідки[ред.ред. код]

y^*|_M = x^* і також \|x^*\|=\|y^*\|.
  • Для довільних двох різних точок лінійного простору існує лінійний функціонал, що приймає різні значенн в цих точках.

Література[ред.ред. код]

  1. Michael Reed and Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1, Functional Analysis, Section III.3. Academic Press, San Diego, 1980. ISBN 0-12-585050-6.
  2. Rudin, Walter (1991), Functional Analysis (2nd ed.), McGraw-Hill Science/Engineering/Math, ISBN 978-0-07-054236-5