Теорема Гарді

Теорема Гарді — твердження в аналізі про властивості голоморфних та субгармонічних функцій. Названа на честь англійського математика Ґодфрі Гарольда Гарді, який довів твердження для модулів голоморфних функцій у 1915 році. Теорема є відправною точкою для означення і дослідження просторів Гарді.

Твердження

Нехай функція $f$ є субгармонічною в крузі $B(0,R)=\{z\,:\,|z|<R\}$ (функцію можна інтерпретувати, як функцію двох дійсних змінних або комплексної змінної). Тоді функція

$I_{f}(r)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }|f(re^{i\varphi })|\,d\varphi ,$

не спадає при $r\in (0;R)$ і є опуклою, як функція $\log r$.

Нехай функція $f$ є голоморфною в крузі $B(0,R)=\{z\,:\,|z|<R\}$. Тоді для $0<p\leqslant \infty$ функція

$I_{p}(f,r)=\left({\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }|f(re^{i\varphi })|^{p}\,d\varphi \right)^{\frac {1}{p}},$

не спадає при $r\in (0;R)$ і є опуклою, як функція $\log r$. Крім того, якщо $f$ не є константою, то $I_{p}(f,r)$ є строго зростаючою.

Доведення

Випадок субгармонічних функцій

Доведення подано для випадку неперервних субгармонічних функцій.

Нехай $0\leqslant r_{1}<r_{2}<R.$ Позначимо $U(z)\ :\ {\overline {B(0,r_{2})}}\to \mathbb {R}$ — розв'язок задачі Діріхле на ${\overline {B(0,r_{2})}},$ що задовольняє граничну умову $U(\partial B(0,r_{2}))=f(\partial B(0,r_{2})).$ Цей розв'язок завжди існує і є єдиним, функція $U(z)$ є гармонічною у $B(0,r_{2}).$ З означення субгармонічних функцій випливає, що $f(z)\leqslant U(z),\ \forall z\in B(0,r_{2}).$

З властивостей гармонічних функцій

${\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }|U(r_{1}e^{i\varphi })|\,d\varphi ={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }|U(r_{2}e^{i\varphi })|\,d\varphi ={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }|f(r_{2}e^{i\varphi })|\,d\varphi =U(0).$

Тому:

$I_{f}(r_{1})={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }|f(r_{1}e^{i\varphi })|\,d\varphi \leqslant {\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }|U(r_{1}e^{i\varphi })|\,d\varphi ={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }|U(r_{2}e^{i\varphi })|\,d\varphi =I_{f}(r_{2}).$

Для доведення опуклості нехай $0<r_{1}<r_{2}<R$ і нехай $U(z)\ :\ R(0;r_{1},r_{2})=\{r_{1}\leqslant |z|\leqslant r_{2}\}\to \mathbb {R}$ — розв'язок задачі Діріхле на ${\overline {R(0;r_{1},r_{2})}},$ що задовольняє граничні умови $U(\partial B(0,r_{1}))=f(\partial B(0,r_{1}))$ і $U(\partial B(0,r_{2}))=f(\partial B(0,r_{2})).$ Цей розв'язок завжди існує і є єдиним, функція $U(z)$ є гармонічною у $R(0;r_{1},r_{2}).$

З властивостей субгармонічних функцій випливає, що $f(z)\leqslant U(z),\ \forall z\in R(0;r_{1},r_{2})$ і тому

$I_{f}(r)\leqslant {\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }U(re^{i\varphi })\,d\varphi ,\ \forall r_{1}\leqslant r\leqslant r_{2}.$

Якщо тепер взяти похідну по r із правої сторони останньої нерівності, то:

${\frac {d}{dr}}\left(\int \limits _{0}^{2\pi }U(re^{i\varphi })\,d\varphi \right)={\frac {d}{dr}}\left(\int \limits _{0}^{2\pi }U(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )\,d\varphi \right)=\int \limits _{0}^{2\pi }\cos \varphi U_{x}(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )+\sin \varphi U_{y}(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )\,d\varphi ={\frac {1}{r}}\int _{C_{r}}{\frac {\partial U}{\partial n}}ds.$

У попередніх рівностях останній інтеграл є криволінійним інтегралом I роду, ${\frac {\partial U}{\partial n}}$ — похідна у напрямку нормалі до кола, а $C_{r}$ позначає коло радіуса r.

Для гармонічних функцій у кільці для всіх $r_{1}\leqslant rr_{2}$ вираз $\int _{C_{r}}{\frac {\partial U}{\partial n}}ds$ є константою. Тому із попереднього $I_{f}(r)\leqslant a\log r+b$ і до того ж у точках $r_{1},r_{2}$ виконується рівність. Тому $I_{f}(r)$ є опуклою функцією від $\log r.$

Випадок голоморфних функцій

Для випадку $p=\infty$ твердження для функції $I_{\infty }(f,r)=\max _{0\leqslant \varphi <2\pi }|f(re^{i\varphi })|$ випливає із принципу максимуму модуля і теореми Адамара про три кола.

Для голоморфної функції $f(z)$ функція $|f(z)|^{p},\ p>0$ є субгармонічною функцією. Тому $I_{p}(f,r)$ є неспадною функцією.

Якщо додатково $f(z)$ не є константою, то при тих же позначеннях, що і вище, якщо $U(z)\ :\ {\overline {B(0,r_{2})}}\to \mathbb {R}$ — розв'язок задачі Діріхле на ${\overline {B(0,r_{2})}},$ що задовольняє граничну умову $U(\partial B(0,r_{2}))=f(\partial B(0,r_{2})),$ то виконується строга нерівність $f(z)<U(z),\ \forall z\in B(0,r_{2}).$

Справді, якщо $f(z_{0})=0,$ то $f(z_{0})<U(0),$ бо інакше з принципу максимуму для гармонічних функцій $U(z),$ а тому і $f(z)$ всюди були б рівними нулю. Якщо $f(z_{0})\not =0,$ то існує круг $B(z_{0},t)\subset B(0,R)$ в усіх точках якого функція не є рівною нулю. Оскільки $f(z)$ є голоморфною в $B(z_{0},t)$ і не є константою (що є наслідком теореми про рівність), то аргумент $f(z)$ не є константою. Нехай точки $z_{1},z_{2}\in B(z_{0},t)$ такі значення аргумента в яких є різними. Тоді ${\frac {|f(z_{1})+f(z_{2})|}{|f(z_{1})|+|f(z_{2})|}}=1-2\varepsilon <1-\varepsilon$ для деякого $\varepsilon >0.$

Оскільки $U(z),f(z)$ є гармонічною і голоморфною функціями в околі $B(z_{0},t),$ то за властивостями про середнє:

$U(z_{0})={\frac {1}{\pi t^{2}}}\int \int _{B(z_{0},t)}U(z)dV,$

$f(z_{0})={\frac {1}{\pi t^{2}}}\int \int _{B(z_{0},t)}f(z)dV,$

Тому :$|f(z_{0})|\leqslant {\frac {1}{\pi t^{2}}}\int \int _{B(z_{0},t)}|f(z)|dV\leqslant {\frac {1}{\pi t^{2}}}\int \int _{B(z_{0},t)}U(z)dV=U(z_{0}).$ Тож для доведення $f(z)<U(z)$ достатньо довести, що перша нерівність є строгою.

Для цього достатньо знайти підмножину $\Omega \subset B(z_{0},t)$ для якої $\left|\int \int _{\Omega }f(z)dV\right|<\int \int _{\Omega }|f(z)|dV.$ Для цього для вказаних вище точок $z_{1},z_{2}$ можна знайти околи $\Omega _{1},\Omega _{2}$ з однаковою площею $\sigma .$ Тоді $\int \int _{\Omega _{1}}f(z)dV=(\sigma f(z_{1})+\delta _{1})$ і $\int \int _{\Omega _{2}}f(z)dV=\sigma (f(z_{2})+\delta _{2}),$ де $\delta _{1},\delta _{2}$ комплексні числа які можна зробити як завгодно малими зменшивши $\Omega _{1},\Omega _{2}.$

Подібно $\int \int _{\Omega _{1}}|f(z)|dV=\sigma (|f(z_{1})|+\delta _{3})$ і $\int \int _{\Omega _{2}}|f(z)|dV=\sigma (|f(z_{2})|+\delta _{4}),$ де $\delta _{3},\delta _{4}$ дійсні числа які можна зробити як завгодно малими зменшивши $\Omega _{1},\Omega _{2}.$

Тоді маємо

${\frac {|\int \int _{\Omega _{1}}f(z)dV+\int \int _{\Omega _{2}}f(z)dV|}{|\int \int _{\Omega _{1}}f(z)dV|+|\int \int _{\Omega _{2}}f(z)dV|}}={\frac {|\sigma (f(z_{1})+f(z_{2})+\delta _{1}+\delta _{2})|}{\sigma (|f(z_{1})|+|f(z_{2})|+\delta _{3}+\delta _{4}}}$

Звідси випливає, що для достатньо малих околів $\Omega _{1},\Omega _{2}$ останній вираз прямує до ${\frac {|f(z_{1})+f(z_{2})|}{|f(z_{1})|+|f(z_{2})|}}$ і тому для деяких околів є меншим одиниці. Якщо позначити $\Omega =\Omega _{1}\cup \Omega _{2},$ то звідси випливає $\left|\int \int _{\Omega }f(z)dV\right|<\int \int _{\Omega }|f(z)|dV$ і зрештою $f(z_{0})<U(z_{0}).$

Тоді у доведенні, як у випадку субгармонічних функцій зважаючи на строгу нерівність також будемо мати $I_{1}(f,r_{1})<I_{1}(f,r_{2}).$

Для довільного p нерівність між $|f(z)|^{p}$ і відповідною гармонічною функцією теж має місце. Для $f|z|^{p}=0$ доведення аналогічне попередньому в іншому випадку локально $|f(z)|^{p}$ є модулем однозначної голоморфної функції $(f(z))^{p}$ і можна використати попереднє доведення. Далі аналогічно $I_{p}(f,r_{1})<I_{p}(f,r_{2}).$

Опуклість прямо випливає із твердження для субгармонічних функцій.

Узагальнення

• Функція $I_{p}(f,r)$насправді є навіть логарифмічно опуклою.
• Теорему для субгармонічних функцій можна узагальнити на випадок вищих розмірностей:

Нехай функція $f$ є субгармонічною в кулі $B_{n}(0,R)=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\,:\,|x|<R\}$. Введемо функцію

$I_{f}(r)={\frac {1}{\sigma }}\int _{S_{n}(0,R)}f(x)\,d\sigma ,$ де $S_{n}(0,R)=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\,:\,|x|=R\}$і інтеграл береться по цій сфері, а $\sigma$ — площа поверхні цієї сфери.

Тоді функція $I_{f}(r)$не спадає при $r\in (0;R)$ і є опуклою, як функція $\log r$ для $n=2$і як функція ${\frac {1}{r^{n-2}}}$ для $n=3$.

Див. також

• Гармонічна функція
• Голоморфна функція
• Принцип максимуму модуля
• Субгармонічна функція
• Теорема Адамара про три кола

Посилання

• Hardy's theorem на PlanetMath.org.

Література

• Πρивалов И. И., Субгармонические функции, М.—Л., 1937;
• Duren, Peter (1970), Theory of H^p-Spaces, Pure and applied mathematics, т. 38, New York: Academic Press