Теорема Гуревича

У математиці теорема Гуревича є важливим твердженням у алгебричній топології, що пов'язує групи гомотопій і гомологій за допомогою відображення, що називається гомоморфізмом Гуревича. Теорема названа на честь Вітольда Гуревича.

Твердження теореми

Абсолютна версія

Для будь-якого лінійно зв'язаного топологічного простору X і додатного числа n існує гомоморфізм груп

$h_{*}\colon \pi _{n}(X)\to H_{n}(X),$

що називається гомоморфізмом Гуревича і відображає n-ну група гомотопій у n-ну групу гомологій (із цілочисловими коефіцієнтами). Гомоморфізм Гуревича задається у такий спосіб: нехай $u_{n}\in H_{n}(S^{n})$ є канонічним генератором (група $H_{n}(S^{n})$ є ізоморфною адитивній групі цілих чисел і має два генератори) і елемент $[f]\in \pi _{n}(X)$ є класом еквівалентності відображення $f:S^{n}\to X.$ Тоді відображення f породжує відображення $f_{*}:H_{n}(S^{n})\to H_{n}(X)$ і за означенням $h_{*}([f])=f_{*}(u_{n})\in H_{n}(X).$

Теорема Гуревича стверджує, що для $n=1$ цей гомоморфізм породжує ізоморфізм

${\tilde {h}}_{*}\colon \pi _{1}(X)/[\pi _{1}(X),\pi _{1}(X)]\to H_{1}(X)$

між абелізацією першої групи гомотопій (фундаментальної групи) і першою групою гомологій.

Для $n\geq 2$ у випадку, якщо X є $(n-1)$-зв'язаним простором (тобто $\pi _{i}(X)\cong 0,\quad 1\leq i\leq n-1$), відображення Гуревича $h_{*}\colon \pi _{n}(X)\to H_{n}(X)$ є ізоморфізмом, а відображення Гуревича $h_{*}\colon \pi _{n+1}(X)\to H_{n+1}(X)$ є епіморфізмом

Відносна версія

Для будь-якої пари топологічних просторів $(X,A)$ і цілого числа $k>1$ існує гомоморфізм

$h_{*}\colon \pi _{k}(X,A)\to H_{k}(X,A)$

із відносних груп гомотопій у відносні групи гомологій. Відносна теорема Гуревича стверджує, що якщо $X$ і $A$ є зв'язаними і пара цих просторів є $(n-1)$-зв'язаною (тобто $\pi _{i}(X,A)\cong 0,\quad 1\leq i\leq n-1$), то $H_{k}(X,A)=0$ для $k<n$ і $H_{n}(X,A)$ одержується із $\pi _{n}(X,A)$ факторизацією дії групи $\pi _{1}(A)$. Доведення цього варіанту теореми є у, наприклад, книзі Whitehead, (1978).

Версія для трійок просторів

Для кожної трійки просторів $(X;A,B)$ (тобто простору X і підпросторів A, B) і цілого числа $k>2$ існує гомоморфізм

$h_{*}\colon \pi _{k}(X;A,B)\to H_{k}(X;A,B)$

із групи гомотопій трійки у групу гомологій трійки. У цьому випадку також

$H_{k}(X;A,B)\cong H_{k}(X\cup (C(A\cup B))).$

Теорема Гуревича для трійок просторів стверджує, що якщо X, A, B і $C=A\cap B$ є зв'язаними просторами, пари просторів $(A,C)$ і $(B,C)$ є $(p-1)$-зв'язаними і $(q-1)$-зв'язаними відповідно і трійка $(X;A,B)$ є $(p+q-2)$-зв'язаною, тоді $H_{k}(X;A,B)=0$ для всіх $k<p+q-2$ і $H_{p+q-1}(X;A)$ одержується із $\pi _{p+q-1}(X;A,B)$ факторизацією дій групи $\pi _{1}(A\cap B)$ і узагальнених груп Вайтхеда. Доведення цього твердження використовує теореми вищого порядку типу ван Кампена для гомотопічних груп трійок, при чому використовується поняття $\operatorname {cat} ^{n}$-групи n-куба просторів.

Версія для симпліційних множин

Варіант теореми Гуревича можна також дати для n-зв'язаних симпліційних множин, що задовольняють умову Кана.

Раціональна теорема Гуревича

Раціональна теорема Гуревича: Нехай X є однозв'язаним топологічним простором, для якого $\pi _{i}(X)\otimes \mathbb {Q} =0$ для $i\leq r$. Відображення Гуревича

$h\otimes \mathbb {Q} \colon \pi _{i}(X)\otimes \mathbb {Q} \longrightarrow H_{i}(X;\mathbb {Q} )$

породжує ізоморфізм для $1\leq i\leq 2r$ і є сюр'єктивним для $i=2r+1$.

Див. також

• Гомотопічні групи
• Сингулярні гомології
• Фундаментальна група

Література

• Brown, Ronald (1989), Triadic Van Kampen theorems and Hurewicz theorems, Algebraic topology (Evanston, IL, 1988), Contemporary Mathematics, т. 96, Providence, RI: American Mathematical Society, с. 39—57, doi:10.1090/conm/096/1022673, ISBN 9780821851029, MR 1022673
• Brown, Ronald; Higgins, P. J. (1981), Colimit theorems for relative homotopy groups, Journal of Pure and Applied Algebra, 22: 11—41, doi:10.1016/0022-4049(81)90080-3, ISSN 0022-4049
• Brown, R.; Loday, J.-L. (1987), Homotopical excision, and Hurewicz theorems, for n-cubes of spaces, Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, 54: 176—192, doi:10.1112/plms/s3-54.1.176, ISSN 0024-6115
• Brown, R.; Loday, J.-L. (1987), Van Kampen theorems for diagrams of spaces, Topology, 26 (3): 311—334, doi:10.1016/0040-9383(87)90004-8, ISSN 0040-9383

• Rotman, Joseph J. (1988), An Introduction to Algebraic Topology, Graduate Texts in Mathematics, т. 119, Springer-Verlag (опубліковано опубліковано 1998-07-22), ISBN 978-0-387-96678-6
• Whitehead, George W. (1978), Elements of Homotopy Theory, Graduate Texts in Mathematics, т. 61, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90336-1