Теорема Гільберта про базис

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теоре́ма Гі́льберта про ба́зис — одна з основних теорем теорії кілець Нетер: якщо  — кільце Нетер, то кільце многочленів R[x] також є кільцем Нетер.

Доведення[ред.ред. код]

Нехай  — ідеал в (ми тут вважатимемо комутативним, для некомутативних кілець доведення зберігається, необхідно лише вважати всі ідеали лівими), а множина старших коефіцієнтів многочленів, його складових. Доведемо, що  — ідеал.

Справді, якщо і  — елементи , то і є старшими коефіцієнтами деяких многочленів з  — і . Якщо, наприклад, , то є старшим коефіцієнтом многочлена . Якщо є старшим коефіцієнтом то є старшим коефіцієнтом для будь-якого елементу . Таким чином, — ідеал, а оскільки  — кільце Нетер, то породжується деякими елементами , старшими коефіцієнтами многочленів . Нехай найбільший степінь цих многочленів рівний . Можна вважати, що степінь кожного з цих многочленів рівний (якщо він рівний , то можна зробити його таким помноживши на .

Аналогічно доводиться, що — множина старших коефіцієнтів многочленів з , степінь яких (до цієї множини доданий 0 кільця) є ідеалом, і тому ідеалом, породженим елементами . Нехай вони є старшими коефіцієнтами многочленів степеня

Доведемо, що ці многочлени породжують ідеал . Нехай — який-небудь многочлен ідеалу , за визначенням . Якщо його степінь то оскільки по доведеному є лінійною комбінацією старших членів многочленів степеня , то ми одержимо, що буде многочленом степеня, меншого, ніж і що також належить ідеалу . Повторюючи при необхідності цю операцію кілька разів, можна дійти до многочлена степеня не більшого .

Для многочлена степеня застосовується та ж процедура, але з використанням многочленів старші коефіцієнти яких породжують ідеал . Далі процедура повторюється, поки ми не дійдемо до нульового многочлена.

Література[ред.ред. код]