Теорема Гільберта про нулі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теоре́ма Гі́льберта про нулі (також використовується німецька назва Nullstellensatz, що перекладається як «теорема про нулі») — теорема, що встановлює фундаментальний зв'язок між геометричними і алгебричними аспектами алгебричної геометрії. Вона пов'язує поняття алгебричної множини з поняттям ідеалу в кільцях многочленів над алгебрично замкнутими полями. Вперше доведена Давидом Гільбертом (Math. Ann. 1893, Bd 42, S. 313–373) і названа на його честь.

Формулювання[ред.ред. код]

Нехай  — алгебрично замкнуте поле (наприклад, поле комплексних чисел). Нехай  — кільце многочленів від змінних з коефіцієнтами з поля і нехай  — ідеал в тому кільці.

Афінний многовид , що визначається цим ідеалом, складається з усіх точок таких, що для будь-якого . Теорема Гільберта про нулі стверджує, що якщо деякий многочлен приймає значення нуль на многовиді , тобто якщо для всіх , то існує натуральне число таке, що многочлен міститься в .

Наслідком є наступна «слабка теорема Гільберта про нулі»: якщо є власним ідеалом в кільці , то не може бути порожньою множиною, тобто існує загальний нуль для всіх многочленів даного ідеалу (цей факт випливає з того, що інакше многочлен має корені всюди на через пустоту цієї множини і тому тобто ідеал не є власним). Ця обставина і дала ім'я теоремі.

Загальний випадок може бути легко виведений з «слабкої теореми» за допомогою так званого прийому Рабіновича. Припущення про те, що поле є алгебрично замкнутим, істотно: елементи власного ідеалу у не мають загального нуля.

Використовуючи стандартну термінологію комутативної алгебри теорему Гільберта про нулі можна сформулювати так: для кожного ідеалу справедлива формула де є радикалом ідеалу , а є ідеалом, породженим всіма многочленами, які зануляются на множині .

Доведення[ред.ред. код]

Доведемо тут слабку версію теореми про нулі. Загальну версію, відповідно, можна отримати за допомогою леми Рабіновича.

Також, очевидно, якщо , то тому твердження теореми достатньо довести для максимальних ідеалів. В цьому випадку є полем для якого є підполем.

У випадку якщо то для всіх існує таке для якого Але є максимальним ідеалом і тому Звідси

Відповідно достатньо довести, що якщо є скінченно породженим розширенням алгебраїчно замкнутого поля і існує гомоморфізм кілець з на (тобто гомоморфізм є сюр'єктивним), що є ідентичним відображенням на , то

Але очевидно в цьому випадку є скінченно породженою алгеброю над і відповідно згідно леми Зариського розширення є скінченним і як наслідок кожен елемент є алгебраїчним над Зважаючи, що є алгебраїчно замкнутим полем, то

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]