Теорема Гільберта про нулі

Теоре́ма Гі́льберта про нулі (також використовується німецька назва Nullstellensatz, що перекладається як «теорема про нулі») — теорема, що встановлює фундаментальний зв'язок між геометричними та алгебричними аспектами алгебричної геометрії. Вона пов'язує поняття алгебричної множини з поняттям ідеалу в кільцях многочленів над алгебрично замкнутими полями. Вперше доведена Давидом Гільбертом (Math. Ann. 1893, Bd 42, S. 313–373) і названа на його честь.

Формулювання

Нехай $K$ — алгебрично замкнуте поле (наприклад, поле комплексних чисел). Нехай $K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ — кільце многочленів від змінних $X_{1},\dots ,X_{n}$ з коефіцієнтами з поля $K$ і нехай $I$ — ідеал в тому кільці.

Афінний многовид $V(I)$, що визначається цим ідеалом, складається з усіх точок $x=(x_{1},\dots ,x_{n})\in K^{n}$ таких, що $f(x)=0$ для будь-якого $f\in I$. Теорема Гільберта про нулі стверджує, що якщо деякий многочлен $p\in K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ приймає значення нуль на многовиді $\ V(I)$, тобто якщо $p(x)=0$ для всіх $x\in V(I)$, то існує натуральне число $r$ таке, що многочлен $p^{r}$ міститься в $I$.

Наслідком є наступна «слабка теорема Гільберта про нулі»: якщо $I$ є власним ідеалом в кільці $K[X_{1},\dots ,X_{n}]$, то $V(I)$ не може бути порожньою множиною, тобто існує загальний нуль для всіх многочленів даного ідеалу (цей факт випливає з того, що інакше многочлен $p(x)=p^{r}(x)=1$ має корені всюди на $V(I)$ через пустоту цієї множини і тому $1\in I,$ тобто ідеал не є власним). Ця обставина і дала ім'я теоремі.

Загальний випадок може бути легко виведений з «слабкої теореми» за допомогою так званого прийому Рабіновича. Припущення про те, що поле $K$ є алгебрично замкнутим, істотно: елементи власного ідеалу $(X^{2}+1)$ у $\mathbb {R} [X]$ не мають загального нуля.

Використовуючи стандартну термінологію комутативної алгебри теорему Гільберта про нулі можна сформулювати так: для кожного ідеалу $J$ справедлива формула $I(V(J))={\sqrt {J}},$ де ${\sqrt {J}}$ є радикалом ідеалу $J$, а $I(U)$ є ідеалом, породженим всіма многочленами, які зануляются на множині $U$.

Доведення

Доведемо тут слабку версію теореми про нулі. Загальну версію, відповідно, можна отримати за допомогою леми Рабіновича.

Також, очевидно, якщо $I\subset J$, то $V(I)\supset V(J),$ тому твердження теореми достатньо довести для максимальних ідеалів. В цьому випадку $L=K[X_{1},\dots ,X_{n}]/(J)$ є полем для якого $K$ є підполем.

У випадку якщо $L=K$ то для всіх $X_{i}$ існує таке $a_{i}\in K$ для якого $X_{i}-a_{i}\in J.$ Але $(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})$ є максимальним ідеалом і тому $J=(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n}).$ Звідси $V(J)=\{(a_{1},\ldots ,a_{n})\}\neq \varnothing .$

Відповідно достатньо довести, що якщо $L$ є скінченно породженим розширенням алгебраїчно замкнутого поля $K$ та існує гомоморфізм кілець з $K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ на $L$ (тобто гомоморфізм є сюр'єктивним), що є ідентичним відображенням на $K$, то $L=K.$

Але очевидно в цьому випадку $L$ є скінченно породженою алгеброю над $K$ і відповідно згідно леми Зариського розширення є скінченним і як наслідок кожен елемент $L$ є алгебраїчним над $K.$ Зважаючи, що $K$ є алгебраїчно замкнутим полем, то $L=K.$

Див. також

• Кільце Джекобсона
• Лема Зариського
• Нормалізаційна лема Нетер

Література

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Прасолов В. В. Многочлены. — 2-е. — Москва : МЦНМО, 2001. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1.(рос.)