Теорема Діні

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Див. також: Діні

Теорема Діні — твердження в математичному аналізі, що для компактного метричного простору E, якщо зростаюча (відповідно спадна) послідовність fn дійсних неперервних функцій поточково збігається до неперервної функції g, то вона збігається до цієї функції g рівномірно.

Доведення[ред. | ред. код]

Припустимо, що послідовність зростаюча.

Для довільного і довільної точки існує такий номер що при виконується нерівність . Так як g і неперервні, у точки t існує такий окіл V (t), що з випливає і

Таким чином, для будь-якої точки ми маємо

Виберемо тепер скінченну множину точок так, щоб околи покривали Е (це можливо, зважаючи на компактність E), і нехай  — найбільший з номерів

Тоді будь-яка точка належить принаймні одному з околів тому при справедливі нерівності

Література[ред. | ред. код]

  • Дьедонне Ж. Основы современного анализа, — М. Мир, 1964 (рос.)