Теорема Діні

Див. також: Діні

Теорема Діні — твердження в математичному аналізі, що для компактного метричного простору E, якщо зростаюча (відповідно спадна) послідовність f_n дійсних неперервних функцій поточково збігається до неперервної функції g, то вона збігається до цієї функції g рівномірно.

Доведення

Припустимо, що послідовність зростаюча.

Для довільного $\varepsilon >0$ і довільної точки $t\in E$ існує такий номер $n(t),$ що при $m\geqslant n(t)$ виконується нерівність $g(t)-f_{m}(t)\leqslant \varepsilon /3$ . Так як g і $f_{n(t)}$ неперервні, у точки t існує такий окіл V (t), що з $t'\in V(t)$ випливає $|g(t)-g(t')|\leqslant \varepsilon /3$ і $|f_{n(t)}(t)-f_{n(t)}(t')|\leqslant \varepsilon /3.$

Таким чином, для будь-якої точки $t'\in V(t)$ ми маємо $|g(t')-f_{n(t)}(t')|\leqslant \varepsilon .$

Виберемо тепер скінченну множину точок $t_{i}\in E$ так, щоб околи $V(t_{i})$ покривали Е (це можливо, зважаючи на компактність E), і нехай $n_{0}$ — найбільший з номерів $n(t_{i}).$

Тоді будь-яка точка $t\in E$ належить принаймні одному з околів $V(t_{i}),$ тому при $n\geqslant n_{0}$ справедливі нерівності $g(t)-f_{n}(t)\leqslant g(t)-f_{n_{0}}(t)\leqslant g(t)-f_{n(t_{i})}(t),\,\forall t\in E.$