Багатозначна функція φ: X → 2Y називається замкнутою якщо множина {(x,y) | y ∈ φ(x)} є замкнутою підмножиною у X × Y. Іншими словами, якщо для послідовностей і для яких , і для всіх , також .
Багатозначна функція φ: X → Y називається напівнеперервною зверху в точці x, якщо для будь-якого околу U множини-образу φ(x) існує окілV точки x, такий, що де . Функція називається напівнеперервною зверху, якщо вона є напівнеперервною зверху в кожній точці. Якщо множина X є компактною то багатозначна функція є замкнутою тоді і тільки тоді коли вона є напівнеперервною зверху і φ(x) є замкнутою множиною для всіх x.
Нехай φ: X → 2X — багатозначна функція. Тоді a ∈ X називається нерухомою точкою функції φ якщо a ∈ φ(a).
ε-сіткою у метричному просторіX називається така підмножина S, що для кожної точки x у X існує точка у S відстань до якої є меншою за ε. Для компактного простору X завжди існує скінченна ε-сітка[1].
Нехай X непорожня, компактна і опуклапідмножинаевклідового просторуRn. Якщо φ: X → 2X є замкнутою багатозначною функцією на X і для всіх x ∈ X множина φ(x) є непорожньою і опуклою то для функції φ існує нерухома точка.
Оскільки X — компактна множина, то для неї існує скінченна ε-сітка для будь-якого ε > 0. Виберемо і зафіксуємо довільну точку в кожній із множин . Задамо тепер неперервних на X функцій , що мають вигляд
Ці функції є невід'ємними і окрім того того, їх сума завжди є додатною оскільки з означення ε-сітки для будь-якого x маємо хоча б для одного i, так що для цього i маємо . Виходячи з цього, можна побудувати вагових функцій
Користуючись ваговими функціями визначимо однозначне неперервне відображення за допомогою формули
З умов і з опуклості множини X випливає, що .
Таким чином, при будь-якому ε > 0 ми маємо однозначне неперервне відображення . По теоремі Брауера про нерухому точку у цього відображення є нерухома точка .
Побудуємо такі ж функції і точки для послідовності додатних чисел для якої Оскільки множина X є компактною відповідна послідовність нерухомих точок (для яких містить підпослідовність, що збігається до деякої границі . Тому можна вважати, що обрана послідовність додатних чисел задовольняє умовам
Тоді є нерухомою точкою відображення f. Для доведення цього розглянемо множину , де при . Якщо при будь-якому виявиться, що , то звідси буде випливати, що через замкнутість множини в X.
Множина є відкритою множиною, що містить множину оскільки вона є об'єднанням відкритих множин Також вона є опуклою оскільки вона є векторною сумою двох опуклих множин і
Відображення f є напівнеперервним зверху і тому з того, що — відкрита множина, що включає випливає, що існує ε-окіл Vε точки , для якого Зважаючи на властивості послідовності для досить великих маємо і .
При цьому виконання нерівності означає, що
і
В результаті при всіх досить великих маємо для кожного i для якого Звідси випливає що
Тоді враховуючи що точка при досить великих є опуклою лінійною комбінацією тільки тих точок які належать і оскільки множина є опуклою, то
Спрямовуючи до нескінченності отримуємо, що Звідси при будь-якому і з наведених вище аргументів,
↑Твердження про існування скінченної є еквівалентним стандартному означенню компактності для метричних просторів. Див., наприклад Дороговцев Я.В. Математичний аналіз: Підручник: У двох частинах. Частина 2. — К. : Либідь, 1994. — 304 с.