Теорема Какутані про нерухому точку

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Теорема Какутані про нерухому точку — твердження в опуклій геометрії, що є узагальненням теореми Брауера про нерухому точку. Теорема має широке застосування в економіці, зокрема у знаменитому доведенні існування рівноваги Неша.

Твердження теореми

[ред. | ред. код]

Необхідні означення

[ред. | ред. код]

Багатозначною функцією φ із множини X у множину Y називається функція із X у булеан множини Y, φX → 2Y, для якої також φ(x) є непорожньою множиною для всіх .

Багатозначна функція φ: X → 2Y називається замкнутою якщо множина {(x,y) | y ∈ φ(x)} є замкнутою підмножиною у X × Y. Іншими словами, якщо для послідовностей і для яких , і для всіх , також .

Багатозначна функція φ: X → Y називається напівнеперервною зверху в точці x, якщо для будь-якого околу U множини-образу φ(x) існує окіл V точки x, такий, що де . Функція називається напівнеперервною зверху, якщо вона є напівнеперервною зверху в кожній точці. Якщо множина X є компактною то багатозначна функція є замкнутою тоді і тільки тоді коли вона є напівнеперервною зверху і φ(x) є замкнутою множиною для всіх x.

Нехай φ: X → 2X — багатозначна функція. Тоді a ∈ X називається нерухомою точкою функції φ якщо a ∈ φ(a).

ε-сіткою у метричному просторі X називається така підмножина S, що для кожної точки x у X існує точка у S відстань до якої є меншою за ε. Для компактного простору X завжди існує скінченна ε-сітка[1].

Твердження теореми

[ред. | ред. код]
Нехай X непорожня, компактна і опукла підмножина евклідового простору Rn. Якщо φX → 2X є замкнутою багатозначною функцією на X і для всіх x ∈ X множина φ(x) є непорожньою і опуклою то для функції φ існує нерухома точка.

Доведення

[ред. | ред. код]

Оскільки X — компактна множина, то для неї існує скінченна ε-сітка для будь-якого ε > 0. Виберемо і зафіксуємо довільну точку в кожній із множин . Задамо тепер неперервних на X функцій , що мають вигляд

Ці функції є невід'ємними і окрім того того, їх сума завжди є додатною оскільки з означення ε-сітки для будь-якого x маємо хоча б для одного i, так що для цього i маємо . Виходячи з цього, можна побудувати вагових функцій

Користуючись ваговими функціями визначимо однозначне неперервне відображення за допомогою формули

З умов і з опуклості множини X випливає, що . Таким чином, при будь-якому ε > 0 ми маємо однозначне неперервне відображення . По теоремі Брауера про нерухому точку у цього відображення є нерухома точка .

Побудуємо такі ж функції і точки для послідовності додатних чисел для якої Оскільки множина X є компактною відповідна послідовність нерухомих точок (для яких містить підпослідовність, що збігається до деякої границі . Тому можна вважати, що обрана послідовність додатних чисел задовольняє умовам

Тоді є нерухомою точкою відображення f. Для доведення цього розглянемо множину , де при . Якщо при будь-якому виявиться, що , то звідси буде випливати, що через замкнутість множини в X.

Множина є відкритою множиною, що містить множину оскільки вона є об'єднанням відкритих множин Також вона є опуклою оскільки вона є векторною сумою двох опуклих множин і

Відображення f є напівнеперервним зверху і тому з того, що — відкрита множина, що включає випливає, що існує ε-окіл Vε точки , для якого Зважаючи на властивості послідовності для досить великих маємо і . При цьому виконання нерівності означає, що

і

В результаті при всіх досить великих маємо для кожного i для якого Звідси випливає що

Тоді враховуючи що точка при досить великих є опуклою лінійною комбінацією тільки тих точок які належать і оскільки множина є опуклою, то Спрямовуючи до нескінченності отримуємо, що Звідси при будь-якому і з наведених вище аргументів,

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Твердження про існування скінченної є еквівалентним стандартному означенню компактності для метричних просторів. Див., наприклад Дороговцев Я.В. Математичний аналіз: Підручник: У двох частинах. Частина 2. — К. : Либідь, 1994. — 304 с.

Див. також

[ред. | ред. код]

Література

[ред. | ред. код]
  • Х. Никайдо, Выпуклые структуры и математическая экономика. — Москва: Мир, 1972.
  • Border, Kim C. (1989). Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory. Cambridge University Press. ISBN 9780521265645.