Теорема Кантора

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Кантора — твердження у теорії множин, що потужність довільної множини є меншою, ніж потужність її булеану (множини всіх її підмножин). Названа на честь німецького математика Георга Кантора.

Доведення[ред.ред. код]

Припустимо, що існує множина , потужність якої є рівною потужності множини , тобто існує бієкція

Розглянемо множину Оскільки бієкція та (тобто ), тому .

Подивимось, чи може належати . Якщо , то , а тоді, за визначенням . І навпаки, якщо , то , а отже .

У будь-якому випадку, одержуємо суперечність. Отже, початкове припущення помилкове і потужність менша потужності .

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]