Теорема Каратеодорі про продовження міри

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В теорії міри теорема Каратеодорі твердить, що довільну (зліченно-адитивну) міру на деякому кільці підмножин множини можна продовжити на σ-кільце, породжене кільцем . У випадку σ-скінченності міри таке продовження є єдиним. З теореми зокрема випливає існування і єдиність міри Бореля і міри Лебега.

Твердження[ред.ред. код]

Нехай - кільце на множині і — міра на . Тоді існує міра така, що є продовженням . (Тобто, ).

Тут -кільце, породжене .

Якщо міра σ-скінченна, то є єдиною і також σ-скінченною.

Напівкільця[ред.ред. код]

Більш загально таке продовження існує для міри, заданої на напівкільці, тобто сім'ї підмножин, що задовольняють умови:

  • Для всіх також
  • Для всіх існують такі попарно неперетинні множини , де , що .

Однак цей випадок легко зводиться до попереднього, оскільки кожне напівкільце породжує кільце, елементами якого є:

Також міра, задана на напівкільці, поширюється на все кільце:

для із Ap в .

Побудова продовження[ред.ред. код]

Нехай — міра, визначена на кільці підмножин множини .

Тоді можна визначити — функцію, визначену на так :

Дана функція є зовнішньою мірою, породженою мірою .

Позначимо сім'ю підмножин множини , для яких виконується:

Для всіх .

Тоді є σ—кільцем і на ньому можна визначити міру для всіх . Визначена таким чином функція є мірою, що збігається з на множинах кільця . Також містить σ-алгебру і звуження на елементи і буде необхідним розширенням міри.

σ—кільце є поповненням кільця , відповідно вони збігаються, якщо визначена міра на є повною.

Приклади[ред.ред. код]

  • Якщо на дійсній прямій взяти напівкільце інтервалів , де міра рівна (b-a), то подана конструкція дає визначення міри Бореля на борелівських множинах . Множині тут відповідає множина вимірних за Лебегом множин.
  • Умова σ-скінченності є необхідною для єдиності продовження. Наприклад, на множині X всіх раціональних чисел проміжку [0 , 1] можна задати напівкільце раціональних чисел проміжку [a , b), де a < b — раціональні числа з проміжку [0 , 1]. σ-кільце, породжене цим напівкільцем, є множиною всіх підмножин X. Задавши тепер , рівне кількості елементів A, і , маємо, що обидві міри збігаються (тобто однакові) на напівкільці і породженому кільці (оскільки всі непорожні множини цих напівкільця і кільця є безмежними, то обидві міри на всіх цих множинах рівні ), але не збігаються на породженому σ-кільці. Це означає, що в даному випадку продовження не є єдиним.

Література[ред.ред. код]

  • Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла Київ, 1989 (рос.)
  • Халмош П.Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит., 1953 (рос.)