Теорема Каратеодорі про продовження міри

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В теорії міри теорема Каратеодорі твердить, що довільна (зліченно-адитивна) міра на деякому кільці підмножин множини може бути продовжена на σ-кільце породжене кільцем . У випадку σ-скінченності міри таке продовження є єдиним. З теореми зокрема випливає існування і єдиність міри Бореля і міри Лебега.

Твердження[ред.ред. код]

Нехай кільце на множині і — міра на . Теорема Каратеодорі стверджує, що існує міра така, що є продовженням . (Тобто, ).

Тут -кільце породжене .

Якщо міра σ-скінченна то є єдиною і також σ-скінченною.

Напівкільця[ред.ред. код]

Більш загально таке продовження існує для міри заданої на напівкільці, тобто сім'ї підмножин, що задовольняють умови:

  • Для всіх , також
  • Для всіх , існують такі попарно непересічні множини , де , що .

Однак цей випадок легко зводиться до попереднього, оскільки кожне напівкільце породжує кільце елементами якого є:

Також міра задана на напівкільці поширюється на все кільце:

for , with the Ap in S.

Побудова продовження[ред.ред. код]

Нехай — міра визначена на кільці підмножин множини .

Тоді можна визначити — функцію визначену на par :

Дана функція є зовнішньою мірою породженною мірою .

Позначимо сім'ю підмножин множини для яких виконується:

Для всіх , .

Тоді є σ—кільцем і на ньому можна визначити міру для всіх . Визначена таким чином функція є мірою, що збігається з на множинах кільця . Також містить σ-алгебру і звуження на елементи і буде необхідним розширенням міри.

σ—кільце є поповненням кільця , відповідно вони збігаються, якщо визначена міра на є повною.

Приклади[ред.ред. код]

  • Якщо на дійсній прямій взяти напівкільце інтервалів , де міра рівна (b-a), то подана конструкція дає визначення міри Бореля на борелівських множинах . Множині тут відповідає множина вимірних за Лебегом множин.
  • Умова σ-скінченності є необхідною для єдиності продовження. Наприклад на множині X всіх раціональних чисел проміжку [0 , 1] можна задати напівкільце раціональних чисел проміжку [a , b) де a < b — раціональні числа з проміжку [0 , 1]. σ-кільце породжене цим напівкільцем є множиною всіх підмножин X. Задавши тепер рівне кількості елементів A і , маємо, що обидві міри збігаються на напівкільці і породженому кільці (оскільки всі непусті множини цих напівкільця і кільця є безмежними то обі міри на всіх цих множинах рівні ), але не збігаються на породженому σ-кільці. Тобто в даному випадку продовження не є єдиним.

Література[ред.ред. код]

  • Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла Київ, 1989 (рос.)
  • Халмош П.Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит., 1953 (рос.)