Теорема Кебе про чверть

Теорема Кебе про чверть твердження у комплексному аналізі про властивості голоморфних однолистих функцій в одиничному крузі.

Твердження

Образ однолистої функції f : D → C з відкритого одиничного круга D в комплексну площину містить відкритий круг з центром f(0) і радіусом |f′(0)|/4.

Доведення

Нерівність Бібербаха

Нехай

$g(z)=z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+\cdots$

є однолистою функцією у |z| < 1. Тоді

$|a_{2}|\leqslant 2.$

Доведення

Розглянемо функцію $G(z)={\sqrt {g(z^{2})}}=z+1/2a_{2}z^{3}+\cdot .$ Вона теж є однолистою на одиничному крузі.

Справді, якщо $G(z_{1})=G(z_{2}),$ то також: $G(z_{1})^{2}=G(z_{2})^{2}$ тобто $g(z_{1}^{2})=g(z_{2}^{2}).$ Оскільки $g(z^{2})$ — однолиста функція, то з останньої рівності випливає:$z_{1}^{2}=z_{2}^{2}$ тобто або $z_{1}=z_{2}$ або $z_{1}=-z_{2}.$ Остання ж гіпотеза суперечить умові $G(z_{1})=G(z_{2})$ бо внаслідок непарності функції $G(z)$ мали б при цій гіпотезі$G(z_{1})=G(z_{2}).$ Таким чином $G(z)$ дійсно є однолистою функцією у одиничному крузі.

Тоді функція $F(z)={1 \over G(z^{-1})}$ є однолистою у зовнішній області одиничного круга |z| > 1 і для цю функцію можна записати як суму ряду:

$F(z)=z-{1 \over 2}a_{2}z^{-1}+\cdots .$

З теореми Ґронвала про площу ${\frac {|a_{2}|}{2}}\leqslant 1$ і тому $|a_{2}|\leqslant 2.$

Доведення теореми про чверть

Після застосування афінного відображення можна вважати

$f(0)=0,\,\,\,f^{\prime }(0)=1,$

і розклад функції у ряд Тейлора має вид

$f(z)=z+a_{2}z^{2}+\cdots .$

Якщо w не належить f(D), то функція

$h(z)={wf(z) \over w-f(z)}=z+(a_{2}+w^{-1})z^{2}+\cdots$

є голоморфною однолистою у |z| < 1.

Застосування нерівності Бібербаха до h дає

$|w|^{-1}\leqslant |a_{2}|+|a_{2}+w^{-1}|\leq 4,$

і тому

$|w|\geqslant {1 \over 4}.$

Література

• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 12-е. — Москва : Наука, 1977.
• Duren, P. L. (1983), Univalent functions, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, т. 259, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90795-5.
• Gong, Sheng (2014) [1999], The Bieberbach Conjecture, Studies in Advanced Mathematics, т. 12 (вид. Second), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2742-0.
• Hayman, W. K. (1994) [1958], Multivalent functions, Cambridge Tracts on Mathematics, т. 110 (вид. Second), Cambridge: Cambridge University Press, с. xii+263, ISBN 978-0-521-46026-2, MR 1310776, Zbl 0904.30001