Теорема Келі (теорія груп)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Келі  — результат теорії груп, що стверджує, що будь-яка група є ізоморфна деякій підгрупі групи перестановок елементів . Теорема названа на честь англійського математика Артура Келі.

Твердження теореми[ред.ред. код]

Нехай  — деяка група (скінченна чи нескінченна) і позначимо її групу перестановок. Тоді твердження теореми можна записати у вигляді

. Де позначення означає ізоморфність групG і H.

Доведення[ред.ред. код]

Визначимо функцію так: Очевидно, що дане відображення є перестановкою (оберненим відображенням є ) тож .

Визначимо тепер відображення:. Зважаючи, що різним відповідають різні функції маємо і відображення T є бієктивним. Залишається лиш довести, що T є гомоморфізмом. Це випливає з наступних рівностей:

Остаточно з того, що T є бієктивним відображенням і гомоморфізмом одержуємо

Література[ред.ред. код]