Теорема Крамера—Вольда

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Крамера—Вольда — твердження в статистиці, теорії ймовірностей та теорії міри, що дозволяє звести окремі властивості багатовимірних ймовірнісних розподілів до одновимірних. Названа на честь шведського математика Гаральда Крамера і норвезького статистика Германа Вольда.

Твердження теореми[ред.ред. код]

Нехай

і

випадкові вектори розмірності  k. Тоді (збіжність за розподілом) якщо і тільки якщо:

для кожного , that is, тобто довільна фіксована лінійна комбінація збігається за розподілом до відповідної лінійної комбінації елементів вектора .

Зокрема (тобто випадкові вектори розмірності k мають однаковий розподіл) тоді і тільки тоді коли

Доведення[ред.ред. код]

Теорема Крамера—Вольда легко одержується з властивостей характеристичної функції, що у багатовимірному випадку визначається формулою:

Згідно з властивостями характеристичних функцій де збіжність функцій є поточковою. Але і тому:

Джерела[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]